Propagation des singularités analytiques pour les solutions des équations aux dérivées partielles

Bony, Jean-Michel; Schapira, Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 1, pp. 81-140.

Soit $P$ un opérateur (pseudo)-différentiel analytique, et soit $V$ sa variété caractéristique. On suppose que $V$ est régulière involutive de codimension $r\ge 1$, et que le symbole principal de $P$ s’annule exactement à un ordre donné sur $V$. Alors, si $u$ est une solution de $Pu=v$, le support essentiel (analytic wave front) de $u$ est, en dehors de celui de $v$, réunion de $r$-feuilles bicaractéristiques. De plus, l’équation $Pu=v$ est microlocalement résoluble.

On se ramène par transformation canonique au cas d’un opérateur $P(x,t,D_x,D_t)$ partiellement elliptique en $x$, et on montre alors que les microfonctions solutions de $Pu=0$ sont restrictions au réel de microfonctions $u(z,t)$ partiellement holomorphes en $z$.

Let $P$ be an analytic (pseudo)-differential operator, and $V$ its characteristic manifold. Assume that $V$ is regular involutive, of codimension $r\ge 1$, and that the principal symbol of $P$ vanishes exactly at a given order on $V$. Then, if $u$ is a solution of $Pu=v$, the essential support (analytic wave front) of $u$ is, outside that of $v$, a union of bicharacteristic $r$-dimensional leaves. Moreover, the equation $Pu=v$ is microlocally solvable.

Using a canonical transformation, it is possible to assume $P$ of the type $P(x,t,D_x,D_t)$, partially elliptic with respect to $x$. Then, the microfunction solutions of $Pu=0$ are restrictions to the real domain of microfunctions $u(z,t)$ partially holomorphic in the $z$-variables.

[1] K.G. Anderson, Analytic wave front sets for solution of linear partial differential equations of principal type, Trans. Amer. Mat. Soc., 176 (1973), 5-22. | Zbl

[2] J.M. Bony et P. Schapira, Existence et prolongement des solutions holomorphes des équations aux dérivées partielles, Inventiones Math., 17 (1972), 95-105. | MR | Zbl

[3] J.M. Bony et P. Schapira, Solutions hyperfonctions du problème de Cauchy, Lecture-Notes in Math., Springer, 287, (1973), 82-98. | MR | Zbl

[4] J.M. Bony et P. Schapira, Propagation des singularités analytiques des solutions des équations aux dérivées partielles, C.R. Acad. Sc. Paris, série A, 279 (1974), 231-233. | MR | Zbl

[5] L. Boutet De Monvel et P. Kree, Pseudo-differential operators and Gevrey classes, Ann. Inst. Fourier, 17 (1967), 295-323. | Numdam | MR | Zbl

[6] J.J. Duistermaat et L. Hörmander, Fourier Integral Operators II, Acta Math., 128 (1972), 183-289. | MR | Zbl

[7] L. Hörmander, Linear partial differential operators, Springer. | Zbl

[8] L. Hörmander, Uniqueness theorem and wave front sets for solutions of linear differential operators equations with analytic coefficients, Comm. Pure Appl. Math., 24 (1971), 617-704. | Zbl

[9] M. Kashiwara, Communication personnelle, Nice, Juin 1973.

[10] M. Kashiwara et T. Kawaï, Microhyperbolic pseudo-differential operators I (à paraître).

[11] T. Kawaï, Construction of local elementary solutions for linear partial differential operators with real analytic coefficients I, Publ. R.I.M.S., Kyoto Univ., 7 (1971), 363-397. | MR | Zbl

[12] H. Komatsu, An introduction to the theory of hyperfunctions, Lecture-Notes in Math., Springer, 287 (1973), 3-40. | MR | Zbl

[13] A. Martineau, Le “edge of the wedge theorem” en théorie des hyperfonctions de Sato, Proc. Intern. Conf. on Functional Analysis and Related Topics, Univ. of Tokyo Press, (1969), 95-106. | MR | Zbl

[14] M. Sato, Theory of hyperfunctions II, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo, (1960), 387-437. | MR | Zbl

[15] M. Sato, Regularity of hyperfunction solutions of partial differential equations, Proc. Nice, Congress 2, Gauthiers-Villars, (1970), 785-794. | MR | Zbl

[S.K.K.] M. Sato, T. Kawaï et M. Kashiwara, Hyperfunctions and pseudo-differential equations, Lecture-Notes in Math., Springer, (1973), 265-529. | MR | Zbl