Ensembles de zéros à la frontière de fonctions analytiques dans des domaines strictement pseudo-convexes

Chollet, Anne-Marie

Annales de l'Institut Fourier, Tome 26 (1976) no. 1, pp. 51-80.

Soit $D$, un domaine borné, strictement pseudo-convexe de ${\mathbf{C}}^n$, on note $A^{\infty }\left(D\right)$, la classe des fonctions analytiques dans $D$, continues ainsi que toutes leurs dérivées dans $D$. Le principal résultat de ce travail est une condition suffisante pour qu’un sous-ensemble fermé de la frontière de $D$ soit l’ensemble des zéros d’une fonction $F$ de $A^{\infty }\left(D\right)$ et aussi l’ensemble des zéros communs à $F$ et à toutes ses dérivées.

Let $D$ be a bounded strictly pseudo-convex domain in $C^n$, we denote by $A^{\infty }\left(D\right)$, the class of functions analytic in $D$, continuous with all their derivatives up to the boundary. The main result of the paper is a sufficient condition for a boundary closed set of $D$ to be the zero-set of a function $F$ of $A^{\infty }\left(D\right)$ and also the set where $F$ and all its derivatives vanish.

[1] L. Carleson, Sets of uniqueness for functions, regular in the unit circle, Acta Math., 87 (1952), 325-345. | MR | Zbl

[2] A.-M. Chollet, Zéros dans les classes de Gevrey de type analytique, Bull. Soc. Math., 96 (1972), 65-82. | MR | Zbl

[3] A.-M. Chollet, Ensembles de zéros de fonctions analytiques dans le disque dont les valeurs au bord appartiennent à une classe très régulière, C.R. Acad. Sc., Paris, 276 (1973), 731-733. | MR | Zbl

[4] A.-M. Chollet, Ensembles de zéros à la frontière de fonctions analytiques dans la boule de Cn, C.R. Acad. Sc., Paris, 277 (1973), 1165-1167. | MR | Zbl

[5] R. Coifman, et G. Weiss, Analyse harmonique non commutative sur certains espaces homogènes, Springer-Verlag (1971). | MR | Zbl

[6] A.M. Davie and B.K. Øksendal, Peak interpolation sets for some algebras of analytic functions, Pacific J. Math., 41 (1972), 81-87. | MR | Zbl

[7] G.M. Henkin, Integral representations of functions holomorphic in strictly pseudo-convex domains and some applications, Math. USSR Sb., 7 (1969), 597-616. | Zbl

[8] J.-P. Kahane et Y. Katznelson, Sur les algèbres de restrictions des séries de Taylor absolument convergentes à un fermé du cercle, J. Anal. Math. Jérusalem, 23 (1970), 185-197. | MR | Zbl

[9] B.I. Korenbljum, Quasi analytic classes of functions in a circle, Soviet Math. Dokl., 6 (1965), 1155-1158.

[10] B.I. Korembljum, Functions holomorphic in a disk and smooth in its closure, Soviet Math. Dokl., 12 (1971), 1312-1315. | Zbl

[11] E. Stein, Boundary behavior of holomorphic functions of several complex variables, Princeton (1972). | MR | Zbl

[12] B.A. Taylor and D.L. Williams, Ideals in rings of analytic functions with smooth boundary values, Can. J. Math., 22 (1970), 1266-1283. | MR | Zbl

[13] B.A. Taylor and D.L. Williams, The peak sets of Am, Proc. Amer. Math. Soc., 24 (1970), 604-605. | MR | Zbl