Solution d’un problème sur les itérés d’un opérateur positif sur $C\left(K\right)$ et propriétés de moyennes associées

Choquet, Gustave; Foias, Ciprian

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 3-4, pp. 109-129.

Soit $T$ un opérateur linéaire positif sur $𝒞\left(K\right)$ (où $K$ est un compact). On montre que si inf. $\{T_1^n;n>0\}<1$, la suite des $(T^n$) converge uniformément vers 0, et que si sup. $\{T_1^n;n>0\}>1$ la suite des $\left(T^n\right)$ converge uniformément vers $+\infty$.

Puis on applique ces deux énoncés à l’étude des suites : $\left[{\sum }_0^{n-1}{T}^{i}f\right]/n$ et $(T^{n}f{)}^{1/n}$ ; on donne en particulier plusieurs critères de convergence uniforme de ces suites.

Let $T$ be a positive linear operator on $𝒞\left(K\right)$ (where $K$ is a compact). It is proved that if inf. $\{T_1^n;n>0\}<1$, the sequence $(T^n$) converges uniformly to 0, and that if sup. $\{T_1^n;n>0\}>1$ the sequence $\left(T^n\right)$ converges uniformly to $+\infty$.

Then these two results are applied to the study of sequences such as: $\left[{\sum }_0^{n-1}{T}^{i}f\right]/n$ and $(T^{n}f{)}^{1/n}$; some criteria of uniform convergence of such sequences are given.