Le problème de l'inversion d'un théorème de Bremerman et ses applications à la transformation biholomorphe

Ramadanov, Ivan-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 25 (1975) no. 2, pp. 193-211.

Étude de la possibilité d’inverser le théorème de Bremerman : si $B$ et $D$ sont deux domaines bornés dans ${\mathbf{C}}^n$ et ${\mathbf{C}}^m$ et si $G=B\times D$, alors $K_G=K_B{K}_D$ où $K$ désigne la fonction-noyau de Bergman. On introduit une classe de domaines dans ${\mathbf{C}}^{n+m}$ qui contient les domaines de Reinhardt et de Hartogs et différentes fonctions “correctives” qui expriment la différence entre la fonction-noyau du domaine et le produit des fonctions-noyaux de sa “base” dans ${\mathbf{C}}^n$ et de ses “fibres” dans ${\mathbf{C}}^m$. Divers moyens d’inverser le théorème de Bremerman sont étudiés. Compte tenu du fait que les fonctions correctives sont invariables par rapport à certaines transformations biholomorphes, on obtient quelques propositions sur l’équivalence biholomorphe des domaines de Hartogs dans ${\mathbf{C}}^2$ aux bicylindres. Enfin, on déduit quelques estimations concernant la métrique de Bergman des domaines étudiés.

Study of the possibility to invert the following theorem of Bremerman: if $B$ and $D$ are two bounded domains in $C^n$ and $C^m$, respectively, and if $G=B\times D$, then $K_G=K_B{K}_D$ where $K$ is the Bergman kernel function. Introduce a class of domains into $C^{n+m}$ containing the Reinhardt and Hartogs domains, as well as different “corrective” functions which express the difference between the Bergman kernel function of the domain and the product of the Bergman kernels of its “basis” in $C^n$ and of its “fibres” in ${\mathbf{C}}^m$. Different ways of inverting the theorem of Bremerman are considered. Taking into account the fact that the corrective functions are invariable with respect to some biholomorphic maps, certain propositions on the biholomorphic equivalence of the Hartogs domains in ${\mathbf{C}}^2$ and the bicylinder are obtained. Finally, one can deduce some estimations concerning the Bergman metric of the studied domains.

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