A necessary condition of local solvability for pseudo-differential equations with double characteristics

Cardoso, Fernando; Trèves, François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 24 (1974) no. 1, pp. 225-292.

On étudie des opérateurs pseudodifférentiels $P(x,D)\sim {\sum }_{j=0}^{+\infty }{P}_{m-j}(x,D)$ du point de vue de la résolubilité locale et sous l’hypothèse que le symbole principal se factorise sous la forme $P_m=Q{L}^2$ au voisinage (dans le fibré cotangent) d’un point $(x_0,{\xi }^0)$ où $L=0$ (de plus $Q$ est elliptique en ce point, et est homogène de degré $m-2$ ; $L$ est homogène de degré 1). On fait l’hypothèse suivante : il existe un nombre complexe $z$ tel que $d_{\xi }\text{Re}\left(zL\right)\ne 0$ en $(x_0,{\xi }^0)$ et tel que la restriction de $\mathrm{Im}\left(zL\right)$ à la bande bicaractéristique de $\text{Re}\left(zL\right)$, passant par ce point, a un zéro d’ordre fini $k<+\infty$ en $(x_0,{\xi }^0)$ et change de signe en ce point de moins à plus. On démontre alors que $P(x,D)$ n’est pas localement résoluble en $x_0$ quels que soient les termes d’ordre inférieur $P_{m-j}(j=1,2,...)$.

Pseudodifferential operators $P(x,D)\sim {\sum }_{j=0}^{+\infty }{P}_{m-j}(x,D)$ are studied, from the viewpoint of local solvability and under the assumption that, micro-locally, the principal symbol factorizes as $P_m=Q{L}^2$ with $Q$ elliptic, homogeneous of degree $m-2$, and $L$ homogeneous of degree one, satisfying the following condition : there is a point $(x_0,{\xi }^0)$ in the characteristic variety $L=0$ and a complex number $z$ such that $d_{\xi }\mathrm{Re}\left(zL\right)\ne 0$ at $(x_0,{\xi }^0)$ and such that the restriction of $\mathrm{Im}\left(zL\right)$ to the bicharacteristic strip of $\mathrm{Re}\left(zL\right)$ vanishes of order $k<+\infty$ at $(x_0,{\xi }^0)$, changing sign there from minus to plus. It is then proved that $P(x,D)$ is not locally solvable at $x_0$, regardless of what the lower order terms $P_{m-j}(j=1,2,...)$ might be.

[1] A. Gilioli and F. Treves, ‘An example in the solvability theory of linear PDEʹsʹ, to appear in Amer. J. of Math. | Zbl

[2] L. Hormander, Linear Partial Differential Operators, Springer, Berlin, 1963. | MR | Zbl

[3] L. Hormander, ‘Pseudo-differential operators and nonelliptic boundary problems, Annals of Math., Vol. 83, (1966), 129-209. | MR | Zbl

[4] L. Hormander, ‘Pseudo-differential operators’, Comm. Pure Appl. Math., Vol. XVIII, (1965), 501-517. | MR | Zbl

[5] S. Mizohata and Y. Ohya, ‘Sur la condition de E. E. Levi concernant des équations hyperboliques’, Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. A, 4 (1968), 511-526. | MR | Zbl

[6] L. Nirenberg and F. Treves, ‘On local solvability of linear partial differential equations. Part I : Necessary conditions’, Comm. Pure Appl. Math., Vol. XXIII, (1970), 1-38. | MR | Zbl

[7] J. Sjostrand, ‘Une classe d'opérateurs pseudodifférentiels à caractéristiques multiples’, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 275 (1972), 817-819. | MR | Zbl

[8] F. Treves, Ovcyannikov theorem and hyperdifferential operators, Notas de Matematica, Rio de Janeiro (Brasil), 1968. | Zbl