Integral representation for a class of multiply superharmonic functions

Gowrisankaran, Kohur

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 4, pp. 105-143.

Soient ${\Omega }_1,...,{\Omega }_n$ des espaces harmoniques de Brelot avec base dénombrable de domaines complètement déterminants. On considère un sous-cône $\mathbf{C}$ du cône des fonctions séparément surharmoniques et positives sur ${\Omega }_1\times ...\times {\Omega }_n$ et on démontre qu’il y a une représentation intégrale pour des éléments de $\mathbf{C}$ avec mesure de Radon portée par l’ensemble des éléments extrémaux d’une base compacte de $\mathbf{C}$. On caractérise ces éléments extrémaux comme les produits des fonctions surharmoniques extrémales dans chacun des espaces ${\Omega }_j$ ; et la mesure représentant un élément de $\mathbf{C}$ est unique. On donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une fonction positive et séparément surharmonique sur ${\Omega }_1\times ...\times {\Omega }_n$ appartienne à $\mathbf{C}$.

Let ${\Omega }_1,...,{\Omega }_n$ be harmonic spaces of Brelot with countable base of completely determining domains. The elements of a subcone $\mathbf{C}$ of the cone of positive $n$-superharmonic functions in ${\Omega }_1\times ...\times {\Omega }_n$ is shown to have an integral representation with the aid of Radon measures on the extreme elements belonging to a compact base of $\mathbf{C}$. The extreme elements are shown to be the product of extreme superharmonic functions on the component spaces and the measure representing each element is shown to be unique. Necessary and sufficient conditions for a positive $n$-superharmonic function to belong to $\mathbf{C}$ are given.

[1] M. Brelot, Lectures on Axiomatic Potential Theory. Lecture Notes. Tata Institute of Fundamental Research. Bombay, 1960. | MR | Zbl

[2] M. Brelot, "Axiomatique des Fonctions Harmoniques et Surharmoniques dans un Espace Localement Compact". Séminaire Théorie du Potentiel II. I.H.P., Paris, 1958. | Numdam

[3] R. Cairoli, "Une Représentation Intégrale pour Fonction Séparément Excessive", Annales Inst. Fourier, 18 (1968), 317-338. | Numdam | MR | Zbl

[4] A. E. Drinkwater, "Integral Representation for Multiply Superharmonic Functions". Ph. D. Thesis. McGill University, Montreal, 1972.

[5] K. Gowrisankaran, "Multiply Harmonic Functions". Nagoya Math. J., Vol. 28, 1966, 27-48. | MR | Zbl

[6] K. Gowrisankaran, "Measurability of Functions in Product Spaces", Proc. Amer. Math. Soc., 31 (1972), 485-488. | MR | Zbl

[7] K. Gowrisankaran, "Iterated Fine Limits and Iterated Non-Tangential Limits", Trans. Amer. Math. Soc. 173 (1972), 71-92. | MR | Zbl

[8] R. M. Hervé, "Recherches Axiomatiques sur la Théorie des Fonctions Surharmoniques et du Potentiel", Annales Inst. Fourier, t. 12 (1962), 415-571. | Numdam | MR | Zbl

[9] L. Schwartz, Radon Measures on General Topological Spaces, Tata Inst. of Fund. Research Monographs (to appear). | Zbl