Sur les $\ell$-classes d’idéaux dans les extensions cycliques relatives de degré premier $\ell$

Gras, Georges

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 3, pp. 1-48.

Soit $\mathbf{H}\left(K\right)$ le $\ell$-groupe des classes d’idéaux d’une extension $K/k$ cyclique de degré premier $\ell$ et soit ${\mathbf{H}}_i=\mathrm{Ker}(\sigma -1{)}^i$ ($\sigma$ générateur de $\mathrm{Gal}(K/k)$). Un procédé généralisant la formule de Chevalley (formule des classes “ambiges”) permet de déterminer ${\mathbf{H}}_{i+1}$ et l’ordre de ${\mathbf{H}}_{i+1}/{\mathbf{H}}_i$ à partir de ${\mathbf{H}}_i$. On obtient donc une méthode qui permet, d’une part, une détermination effective de la structure de $\mathbf{H}\left(K\right)$ et, d’autre part, une étude générale des problèmes de $\ell$-classes d’idéaux.

Let $\mathbf{H}\left(K\right)$ be the $\ell$-group of ideal classes of a cyclic extension $K/k$ of prime degree $\ell$ and ${\mathbf{H}}_i=\mathrm{Ker}(\sigma -1{)}^i$ ($\sigma$ generator of $\mathrm{Gal}(K/k)$). A method which generalizes the Chevalley’s formula (“ambiguous classes”) allows the determination of ${\mathbf{H}}_{i+1}$ and the order of ${\mathbf{H}}_{i+1}/{\mathbf{H}}_i$, when ${\mathbf{H}}_i$ is known. A method is thus obtained which permits an effective determination of the structure of $\mathbf{H}\left(K\right)$ and a general study of $\ell$-ideal classes problems.

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