Boundary approach filters for analytic functions

Doob, J. L.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 23 (1973) no. 3, pp. 187-213.

Soit $H^{\infty }$ l’espace des fonctions bornées holomorphes dans $D:\left|z\right|<1$, et soit $\overline{D}$ l’espace des idéaux maximaux de l’algèbre $H^{\infty }$, une compactification de $D$. On étudie les relations entre les fonctions de $H^{\infty }$ et leurs valeurs limites sur $\overline{D}-D$. Soit $D_1$ le sous-ensemble de $\overline{D}$ sur le point 1. Un sous-ensemble $A$ de $D_1$ est un “ensemble de Fatou” si tout $f$ dans $H^{\infty }$ a une limite en $e^{i\theta }A$ pour presque tout $\theta$. Le sous-ensemble nontangentiel est un ensemble de Fatou d’après le théorème de Fatou. Il y a beaucoup d’ensembles de Fatou plus grands, par exemple le sous-ensemble de $D_1$ des points fixes, mais il n’y a pas un ensemble de Fatou maximal. L’ensemble des points $Q$ de $D_1$ dont $\left\{Q\right\}$ est un ensemble de Fatou est dense dans $D_1$.

Let $H^{\infty }$ be the class of bounded analytic functions on $D:\left|z\right|<1$, and let $\overline{D}$ be the set of maximal ideals of the algebra $H^{\infty }$, a compactification of $D$. The relations between functions in $H^{\infty }$ and their cluster values on $\overline{D}-D$ are studied. Let $D_1$ be the subset of $\overline{D}$ over the point 1. A subset $A$ of $D_1$ is a “Fatou set” if every $f$ in $H^{\infty }$ has a limit at $e^{i\theta }A$ for almost every $\theta$. The nontangential subset of $D_1$ is a Fatou set according to the Fatou theorem. There are many larger Fatou sets, for example the fine topology subset of $D_1$ but there is no largest Fatou set. The set of those points of $D_1$ which are Fatou singletons is dense in $D_1$.

[1] M. Brelot and J.L. Doob, Limites angulaires et limites fines, Ann. Inst. Fourier, 13 (1963), 395-415. | Numdam | MR | Zbl

[2] J.L. Doob, Conditional Brownian motion and the boundary limits of harmonic functions, Bull. Soc. Math. France 85 (1957), 431-458. | Numdam | MR | Zbl

[3] Kenneth Hoffman, Banach spaces of analytic functions, Prentice Hall 1962. | Zbl

[4] Kenneth Hoffman, Bounded analytic functions and Gleason parts, Ann. Math. 86 (1967), 74-111. | MR | Zbl

[5] L. Lumer-Naïm, Sur le rôle de la frontière de R.S. Martin dans la théorie du potentiel, Ann. Inst. Fourier 7 (1957), 183-281. | Numdam | MR | Zbl

[6] Gabriel Mokodobzki, Ultrafiltres rapides sur N. Construction d'une densité relative de deux potentiels comparables, Séminaire Théorie Potentiel Brelot-Choquet-Deny 1967/1968 Exp. 12. | Numdam | Zbl

[7] M. Rosenfeld and Max L. Weiss, A function algebra approach to a theorem of Lindelöf, J. London Math. Soc. (2) 2 (1970), 209-215. | Zbl

[8] M. Tsuji, Potential theory in modern function theory, Tokyo 1959. | MR | Zbl