Homotopie et holonomie de certains feuilletages de co-dimension 1

Garançon, Maurice

Annales de l'Institut Fourier, Tome 22 (1972) no. 2, pp. 61-71.

Dans cet article nous étudions les feuilletages, transversalement orientables, de codimension 1 et classe $C^r$, $r\ge 2$, qui n’admettent aucune transversale fermée nulle-homotope. Si $i_F$ est l’inclusion de la feuille $F$, $(i_F{)}_{*}$ l’application induite sur les groupes fondamentaux, et ${\varphi }_F$ une antireprésentation d’holonomie de $F$, alors cette condition est équivalente à la suivante :

$$\mathrm{Ker}(i_F{)}_{*}\subseteq \mathrm{Ker}{\varphi }_F\text{pour}\text{toute}\text{feuille}F.$$

Résultats : Si $M^n$ est une variété dont le groupe fondamental contient un sous-groupe cyclique d’indice fini, et si $ℱ$ est un feuilletage de codimension 1 de $M^n$ on a :

i) Si $ℱ$ satisfait aux conditions énumérées ci-dessus, toute feuille, dont l’holonomie est non zéro, est fermée.

ii) Si $(i_F{)}_{*}$ est injectif, pour tout $F$, toute feuille coupée par une transversale fermée possède un groupe fondamental fini.

iii) Si $n=3$ et $M$ est compacte, $ℱ$ possède une feuille compacte.

In this paper, we study the transversaly orientable foliations, of codimension 1 and class $C^r$, $r\ge 2$, on a manifold $M$, such that there is no null-homotopic closed transversal. If $i_F$ is the inclusion of the leaf $F$ in $M$, $(i_F{)}_{*}$ the induced map between the fundamental groups, and ${\varphi }_F$ and anti-representation of holonomy for $F$, then this condition is equivalent to the following: $\mathrm{Ker}(i_F{)}_{*}\subseteq \mathrm{Ker}{\varphi }_F\text{for}\text{all}F.$ We prove: If $M^n$ is a manifold with a fundamental group containing a cyclic subgroup of finite index and $ℱ$ a codimension 1 foliation on $M^n$ then:

i) If the preceding conditions are satisfied by $ℱ$, a leaf with non zero holonomy is closed.

ii) If $(i_F{)}_{*}$ is one to one, for all $F$, a leaf intersected by a closed transversal has a finite fundamental group.

iii) If $n=3$ and $M$ is compact, $ℱ$ has a compact leaf.

[1] M. Garançon, Le rang de certaines variétés closes, Annales de l'institut Fourier, Tome XX, Fasc. 1 (1970). | Numdam | MR | Zbl

[2]' A. Haefliger, Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes, Commentarii Mathematici Helvetici, Vol. 32 (1958). | MR | Zbl

[3] A. Haefliger, Variétés feuilletées, Annal. della Scuola Normale Superiore di Pisa, III, XVI (1962). | Numdam | Zbl

[4] C. Lamoureux, Feuilletages de codimension 1. Holonomie et homotopie, C.R. Académie des Sciences, Tome 270, N° 26 (Juin 1970). | MR | Zbl

[5]' G. Reeb, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Actualités Scientifiques et industrielles, Hermann, Paris (1952). | MR | Zbl

[6] D. Tischler, On fibering certain foliated manifolds overs S1 Topology, Vol. 9, N° 2 (1970). | MR | Zbl