Approximation de fonctions différentiables sur certains espaces de Banach

Moulis, Nicole

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 4, pp. 293-345.

Soit $E$ un espace de Banach séparable de dimension infinie ; le sujet de cette étude est l’approximation de fonctions de classe $C^k$ définies sur un ouvert $\Omega$ de $E$ à valeurs dans un espace de Banach $F$ par des fonctions de classe $C^{\infty }$. Le principal résultat est : si $E$ est un espace de Hilbert, l’ensemble des applications de classe $C^{\infty }$ de $\Omega$ dans $F$ est dense dans l’ensemble des applications de classe $C^{2k-1}$ muni de la $C^k$ topologie fine. Comme corollaire, on montre que l’étude des variétés hilbertiennes de classe $C^k$ se ramène à celles des variétés de classe $C^{\infty }$.

Enfin, on montre que l’ensemble des fonctions de Sard de classe $C^{\infty }$ est dense dans l’ensemble des applications de classe $C^1$ muni de la $C^1$ topologie fine. (Une application est dite de Sard si le complémentaire de l’ensemble des valeurs critiques est intersection dénombrable d’ouverts denses.) On en déduit comme corollaires des théorèmes de transversalité.

Let $E$ be a separable Banach space, infinite dimensional; I approximate $C^k$-functions defined on an open set $\Omega$ of $E$, by $C^{\infty }$-functions. The main result is: let $E$ be Hilbert space, the set of $C^{\infty }$ maps from $\Omega$ to a Banach space $F$ is dense is the set of $C^{2k-1}$ maps from $\Omega$ to $F$ for the $C^k$ fine-topology. As a corollary, I prove that the classification of $C^k$-structures on a Hilbert-manifold is equivalent to the classification of $C^{\infty }$-structures.

Finally, I approximate $C^1$ functions in the sense of $C^1$ fine topology by $C^{\infty }$ Sard functions (The set of critical values is countable intersection of dense open sets).This has important applications in transversality theorems.

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