Espaces $Lp$ relatifs à une famille de mesures

Bertrandias, Jean-Paul

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 4, pp. 267-291.

Étude de l’intersection $\cap ={\bigcap }_{s\in S}{L}^p\left(s\right)$ pour un ensemble $𝒮$ de mesures positives bornées sur un espace (ou un groupe commutatif) localement compact.

Pour un espace localement compact, on étudie les rapports entre les propriétés de compacité de $𝒮$, la densité de certains sous-espaces, le dual et le bidual de ces sous-espaces, la compacité des applications canoniques.

Pour un groupe commutatif localement compact de dual $\gamma$, certaines de ces propriétés sont liées à la continuité de l’application $\gamma \to \cap$ et à la compacité relative de son image.

This paper is concerned with the intersection $\cap ={\bigcap }_{s\in S}{L}^p\left(s\right)$ where $S$ is a set of bounded positive measures on a locally compact space.

In the case of a locally compact space, we study the relations between compactness of the set $S$, the denseness of certain subspaces, the dual and the bidual of these subspaces and the compactness of canonical maps.

In the case of a locally compact abelian group $G$ whose dual is $\gamma$, these properties are related to the continuity of the map $\gamma \to \cap$ and the relative compactness of its range.

[1] R. Arens, Operations induced in function classes, Monat. für Math., 55 (1951), 1-19. | MR | Zbl

[2] J. P. Bertrandias, Espaces de fonctions continues et bornées en moyenne asymptotique d'ordre p, Supp. Bull. Soc. Math. France, n° 5 (1966). | Numdam | MR | Zbl

[3] J. P. Bertrandias, Opérateurs invariants par translation sur les espaces de Marcinkiewicz (à paraître : Journ. Math. pures et appl. (1972)).

[4] R. C. Buck, Operator algebras and dual spaces, Proc. Am. Math. Soc., 3 (1952), 681-687. | MR | Zbl

N. Bourbaki, Éléments de mathématiques, Hermann. | Zbl

[5] N. Bourbaki, Espaces vectoriels topologiques, Ch. 3 à 5 (1955).

[6] N. Bourbaki, Intégration, Ch. 1 à 4, 2e éd. (1965). | Zbl

[7] N. Bourbaki, Intégration, Ch. 5, 2e éd. (1965).

[8] N. Bourbaki, Intégration, Ch. 9 (1969).

[9] N. Bourbaki, Théories spectrales, Ch. 1-2 (1967). | Zbl

[10] P. Civin et B. Yood, The second conjugate space of a Banach algebra as an algebra, Pacific Journ. of Math., 11 (1961), 847-870. | MR | Zbl

[11] R. E. Edwards, Functional Analysis — Holt, Rinehart and Winston (1965). | MR | Zbl

[12] A. Grothendieck, Sur les applications linéaires faiblement compactes d'espaces du type C(K), Can. J. Math., 5 (1963), 129-173. | MR | Zbl

[13] E. Hewitt, et K. A. Ross, Abstract harmonic analysis. Vol. II, Springer (1970). | Zbl

[14] L. H. Loomis, An introduction to abstract harmonic analysis, Van Nostrand (1953). | MR | Zbl

[15] G. Lumer, Algèbres de fonctions et espaces de Hardy. Lectures Notes in Math. n° 75, Springer (1968). | MR | Zbl

[16] W. Rudin, Fourier Analysis on groups. Interscience (1962). | MR | Zbl

[17] T. S. Pitcher, A more general property than domination for sets of probability measures. Pacific Journ. of Math., 15 (1965), 597-611. | MR | Zbl