Sur les feuilletages des variétés de dimension trois

Roussarie, Robert

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 3, pp. 13-82.

La détermination des classes d’équivalence topologique des feuilletages est la motivation de cette étude qui apporte une réponse très partielle à ce problème général par la caractérisation, dans les quatrième et cinquième parties, des variétés de dimension trois, support de feuilletages de Reeb ou d’actions non dégénérées de ${\mathbf{R}}^2$, ainsi que par la classification des types topologiques des feuilletages de Reeb. L’étude de ces feuilletages est facilitée par l’existence de théorèmes, rappelés dans la deuxième partie, particuliers à la codimension un du feuilletage ou à la dimension trois de la variété. En outre, les feuilletages étudiés ne possèdent pas de cycle limite au sens de Novikov. Cette propriété a quelques conséquences remarquables établies dans la troisième partie, et est à la base des résultats obtenus par la suite. En contraste avec la relative simplicité de ces feuilletages, on trouvera décrits dans la première partie quelques feuilletages de la sphère $S^3$, pour lesquels la présence de composantes de Reeb est à l’origine d’une grande diversité de types topologiques.

Determination of topological equivalence classes of foliations is the motivation of this article. In the fourth and fifth parts, some very partial answer is brought to this general problem by characterising the three-manifolds where can be defined some Reeb foliations or non singular actions of ${\mathbf{R}}^2$ and by classifying topological types of Reeb foliations. Some theorems, particular to codimension one of these foliations or to the topology of three-manifolds are recalled in the second part. Moreover, foliations we are concerned with, do not contain vanishing cycles. This property has some important consequences which are demonstrated in the third part, and is at the base of the following results. In contrast with the simplicity of these foliations, one will find in the first part, some foliations of $S^3$ in which existence of Reeb components implies a great diversity of topological types.

[1] N. Bourbaki, Eléments de Mathématiques, Topologie générale, livre III, chapitre 7.

[2] A. Denjoy, Sur les courbes définies par les équations différentielles à la surface du tore, Journal de Math., Vol. 11 (1932). | JFM | Numdam

[3] A. Haefliger, Variétés feuilletées, Ann. E. Norm. Sup. Pise, Série 3, 16 (1962). | Numdam | Zbl

[4] Hurewicz, Lectures on ordinary differential equations. | Zbl

[5] F. Laudenbach et R. Roussarie, Un exemple de feuilletage sur S3. Topology, Vol. 9, N° 1 (Feb 1970) 63-70. | MR | Zbl

[6] W.B.R. Lickorish, A foliation for 3-manifolds, Annals of Math., Vol. 82, (1965). | MR | Zbl

[7] E. Lima, Commuting vector fields on S2, Annals of Math., Vol. 81 (1965). | MR | Zbl

[8] J. Milnor, Morse theory. Annals Studies 51 ; Princeton Univ. Press (1963). | Zbl

[9] S.P. Novikov, Topology of foliations, Trudy Mosk. Math. Obshch. Vol. 14, n° 513.83. | MR | Zbl

[10] C.D. Papakyriakopoulos, On solid tori, Proc. London Math. Soc. (3) (1967). | Zbl

[11] Ch. Pugh, The closing Lemma, Am. J. of Math., Oct. 1967. | Zbl

[12] G. Reeb, Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées, Actual. Scient. Ind. (1952). | MR | Zbl

[13] H. Rosenberg, The rank of S2 x S1, Am. J. of Math., Vol. 87 (1965). | MR | Zbl

[14] H. Rosenberg, Singularities of R2 actions, Topology, Vol. 7 (1968). | MR | Zbl

[15] H. Rosenberg, Foliations by planes, Topology, Vol. 7 (1968). | MR | Zbl

[16] H. Rosenberg et R. Roussarie, Reeb Foliations, Annals of Math., Vol. 91, N° 1 (Jan. 1970), 1-24. | MR | Zbl

[17] H. Rosenberg et R. Roussarie, Topological equivalence of Reeb Foliations, Topology, Vol. 9, N° 3 (Av. 1970), 231-242. | MR | Zbl

[18] H. Rosenberg, R. Roussarie et D. Weil, A classification of closed orientable 3-manifolds of rank two, Annals of Math., Vol. 91, N° 3 (May 1970), 449-469. | MR | Zbl

[19] R. Roussarie et D. Weil, Extension du “closing lemma” aux actions de R2 sur les variétés de dimension 3. Journal of Differential Equation. Vol. 8, N° 2 (Sept. 1970), 202-228. | MR | Zbl

[20] R. Sacksteder, Foliations and pseudo-groups, Amer, J. of Math., Vol. 87, (1965). | MR | Zbl

[21] C.L. Siegel, Notes on differential equations on the torus, Annals of Mathematics, vol. 46 (1945), 423-428. | MR | Zbl

[22] J. Stallings, On fibering certain 3-manifolds, Topology of 3-manifolds, Prentice Hall (1962).

[23] Wallace, Differential Topology, First Steps, Mathematics monograph series, Benjamin, Inc. (1968). | Zbl

[24] J. Wood, Foliations on 3-manifolds, Thèse (Université de Princeton). | Zbl