Infinitely divisible processes and their potential theory. I

Port, Sidney C.; Stone, Charles J.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 2, pp. 157-275.

Nous montrons qu’à tout processus i.d. (indéfiniment divisible) défini sur un groupe localement compact mesurable, non compact, on peut associer une théorie du potentiel qui donne des résultats définitifs sur le comportement du processus dans l’espace et le temps. Nos résultats sont généraux ; aucune hypothèse de densité ou de régularité n’est faite sur les processus dans la première partie de ce travail qui en comporte deux. Nous avons quatre buts principaux :

1) Établir les bases probabilistes de ces processus. Cela consiste principalement à classer les processus en processus transitoires et récurrents, à examiner les périodicités dans le temps des processus, à développer les théorèmes limites quotients pour les probabilités de transition et à établir le théorème de renouvellement pour les processus transitoires.

2) Développer et appliquer une théorie des $\lambda$-capacités qui donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu’un ensemble borélien soit essentiellement polaire.

3) Étudier dans le cas transitoire le comportement asymptotique des probabilités d’atteinte et des fonctions de Green pour des boréliens. À cet effet, il nous faut d’abord développer la notion d’ensembles transitoires ou récurrents et montrer qu’à chaque ensemble transitoire est associée une mesure capacitaire unique.

4) Étudier dans le cas transitoire le comportement asymptotique de la distribution du premier (dernier) temps d’atteinte et de la première (dernière) position d’atteinte d’un ensemble borélien.

We show that associated with every i.d. (infinitely divisible) process on a locally compact, non-compact 2nd countable Abelian group is a corresponding potential theory that yields definitive results on the behavior of the process in both space and time. Our results are general, no density or other smoothness assumptions are made on the process. In this first part of two part work we have four main goals.

(1) To lay the probabilistic foundation of such processes. This mainly consists in giving the classification into transient and recurrent processes, examining the time periodicities of the process and developing appropriate ratio limit theorems for the transition function, and establishing the revewal theorem for transient processes.

(2) To develop and apply a $\lambda$ capacity theory that gives necessary and sufficient conditions for a Borel set to be essentially polar.

(3) To investigate the asymptotic behavior of the hitting distribution and Green’s function for Borel sets in the transient case. To do this it is first necessary to develop the notion of transient and recurrent sets and show that each transient set has a unique capacitory measure associated with it.

(4) To investigate the asymptotic behavior for large time of the joint distribution of the first (last) hitting time and first (last) hitting place for a Borel set in the transient case.