Majorantes surharmoniques minimales d'une fonction continue

Moreau, Jean-Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 21 (1971) no. 2, pp. 129-156.

Soit $\Omega$, ouvert de ${\mathbf{R}}^n$ et $f:\Omega \to \mathbf{R}$, continue. On dit qu’une majorante surharmonique de $f$ dans $\Omega$ est minimale si cette majorante surharmonique est harmonique dans l’ensemble (ouvert) où elle diffère de $f$. Beaucoup de propriétés de ces fonctions sont semblables à celles des fonctions harmoniques $\ge 0$ (lesquelles correspondent à $f=0$) ; par exemple la famille entière est uniformément équicontinue dans chaque partie compacte de $\Omega$, relativement à la structure uniforme de $\overline{\mathbf{R}}$. On traite le problème de Dirichlet : détermination d’une majorante surharmonique minimale de $f$ s’accordant à une fonction continue donnée dans la frontière de $\Omega$ (problème posé par la mécanique des milieux continus et étudié ailleurs par des méthodes hilbertiennes).

Let $\Omega$ be an open subset of ${\mathbf{R}}^n$ and $f:\Omega \to \mathbf{R}$ a continuous function. A superharmonic majorant of $f$ in $\Omega$ is called minimal if it is harmonic in the (open) set where if differs from $f$. Many properties of these functions are similar to those of nonnegative harmonic functions in $\Omega$ (in fact the case $f=0$); e.g. the whole family is uniformly equicontinuous in each compact subset of $\Omega$, with respect to the uniform structure of $\overline{\mathbf{R}}$. Application is made to the “Dirichlet” problem of finding a minimal superharmonic majorant of $f$ agreeing with given boundary values (a problem arising from the mechanics of continua and formerly studied by hilbertian methods).

[1] M. Brelot, Minorantes sous harmoniques, extrémales et capacités, J. Math. Pures et Appl., 24 (1945), 1-32. | Numdam | MR | Zbl

[2] M. Brelot, Éléments de la théorie classique du potentiel, 3e ed., Centre de Documentation Universitaire, Paris, 1965, 4e édition, 1969.

[3] H. Brezis, G. Stampacchia, Sur la régularité de la solution d'inéquations elliptiques, Bull. Soc. Math. France, 96 (1968), 153-180. | Numdam | MR | Zbl

[4] J. F. Durand, Résolution numérique de problèmes aux limites sous-harmoniques, Thèse de 3e cycle, Montpellier, 1968.

[5] G. Fichera, Problemi elastostatici con vincoli unilaterali : il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno, Atti Accad. Naz. Lincei, Cl. sci. fis. mat. nat., Memorie, Ser. VIII, Vol. VII, fasc. 5 (1964). | MR | Zbl

[6] H. Lewy, On a Variational Problem with Inequalities on the Boundary J. Math., Mech., 17 (1968), 861-884. | MR | Zbl

[7] H. Lewy, G. Stampacchia, On the regularity of the solution of a variation alinequality, Comm. Pure Appl. Math., 22 (1969) 153-188. | MR | Zbl

[8] J. L. Lions, G. Stampacchia, Variational inequalities, Comm. Pure Appl. Math. 20 (1967), 493-519. | MR | Zbl

[9] J. J. Moreau, Proximité et dualité dans un espace hilbertien, Bull. Soc. Math. France, 93 (1965), 273-299. | Numdam | MR | Zbl

[10] J. J. Moreau, Convexity and duality, in : E. R. Caianiello (editor), Functional Analysis and Optimization, Academic Press (1966), 145-169. | MR | Zbl

[11] J. J. Moreau, One-sided constraints in hydrodynamics in : Abadie, J. (editor), Nonlinear programming, North Holland Pub. Co. (1967), 261-279. | Zbl

[12] J. J. Moreau, Principes extrémaux pour le problème de la naissance de la cavitation, Journ. de Mécanique 5 (1966), 439-470. | MR | Zbl

[13] J. J. Moreau, Fonctionnelles convexes, seminaire sur les Équations aux dérivées partielles, Collège de France, Paris, 1967 (multigraphié 108 p). | Numdam

[14] W. Prager, Elastic solids of limited compressibility, Proc. 9 th. Int. Congr. Appl. Mech. Bruxelles (1956), Vol. 5, 205-211.

[15] W. Prager, Unilateral constraints in mechanics of continua, Atti del Convegno Lagrangiano, Torino (1964), 181-190. | MR | Zbl

[16] N. Sjöberg, Sur les minorantes sousharmoniques d'une fonction donnée, Congrès des Math. Scand., Helsingfors, 1938, p. 309-319. | JFM | Zbl