A property of Fourier Stieltjes transforms on the discrete group of real numbers

Domar, Yngve

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, pp. 325-334.

Soit $\mu$ une transformée de Fourier-Stieltjes, définie sur la droite réelle discrète et avec la mesure correspondante sur le groupe dual s’annulant sur l’ensemble des caractères continus sur $\mathbf{R}$. Alors pour chaque $\epsilon >0$ la mesure de Lebesgue intérieure de $\{x\in \mathbf{R}|\mathrm{Re}\left(\mu \right(x\left)\right)>\epsilon \}$ est nulle. Pour $\epsilon =0$ la proposition est, en général, inexacte. Le résultat est appliqué pour démontrer un théorème de M. Rosenthal.

Let $\mu$ be a Fourier-Stieltjes transform, defined on the discrete real line and such that the corresponding measure on the dual group vanishes on the set of characters, continuous on $\mathbf{R}$. Then for every $\epsilon >0$, $\{x\in \mathbf{R}|\mathrm{Re}\left(\mu \right(x\left)\right)>\epsilon \}$ has a vanishing interior Lebesgue measure. If $\epsilon =0$ the statement is not generally true. The result is applied to prove a theorem of Rosenthal.

[1] H. Rosenthal, A characterization of restrictions of Fourier-Stieltjes transforms, Pac. J. Math. 23 (1967) 403-418. | MR | Zbl

[2] W. Rudin, Fourier analysis on groups. New York 1962. | MR | Zbl