Sur les convexes de Ludwig

Ancona, Alano

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 2, pp. 21-44.

On étudie les convexes compacts $K$, tels que pour toute partie $A$ de $K$, l’ensemble des fonctions affines continues sur $K$, comprises entre 0 et 1, et nulles sur $A$, ait un plus grand élément. On caractérise ces convexes compacts comme ceux dont des quotients affines convenables sont des chapeaux universels de cônes à base compacte. On a une “complémentation naturelle” sur le treillis des faces exposés de $K$, et des liens remarquables entre ce treillis et l’espace des fonctions affines continues sur $K$.

We study the compact convex sets $K$ such that, for every subset $A$ of $K$, the set of all affine continuous functions on $K$, null on $A$, and taking its values in $(0,1)$ has a largest element. These compact convex sets are shown to be the compact convex sets some of whose quotients are universal caps of cones with compact basis. One has a natural complementation on the lattice of all exposed faces of $K$, and some remarkable relations of that lattice with the space of affine continuous functions on $K$.

[1] G. Ludwig, Attempt of an axiomatic foundation of quantum mechanics and more general theories II, Commun. Math. Phys., 4, 331-348 (1967). | MR | Zbl

[2] G. Ludwig, Attempt of an axiomatic foundation of quantum mechanics and more general theories III, Commun. Math. Phys., 9, 1-12 (1968). | MR | Zbl

[3] J. M. Bony, Représentations intégrales sur les cônes faiblement complets, Séminaire Initiation à l'Analyse t. 3 (1963-1964). | Numdam | Zbl

[4] L. Asimow, Universally weel-capped cones, Pacific J. of Math., Vol 26, n° 9, (1968). | MR | Zbl

[5] D. A. Edwards, Séparation des fonctions réelles définies sur un simplexe de Choquet, C. R. Acad. Sci., Paris, t. 261, (1965), 2798-2800. | MR | Zbl