Sur les singularités des formes différentielles

Martinet, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 1, pp. 95-178.

On étudie, sur le modèle de la théorie des singularités d’applications différentiables, les singularités des formes différentielles extérieures sur une variété différentiable. Les invariants fondamentaux utilisés sont le rang et la classe (au sens de E. Cartan) d’une forme différentielle. On étudie leur comportement générique à l’aide des théorèmes de transversalité. Par exemple, l’ensemble des points d’une variété de dimension $n$ où la classe d’une forme de Pfaff est égale à $n-c$ est génériquement une sous-variété de codimension $\frac{c(c+1)}{2}$.

On étudie quelques singularités d’ordre supérieur pour les petites dimensions de la variété (1-formes en dimension 3, 2-formes en dimension 4). Puis on montre l’existence de modèles pour les singularités les plus simples des 1-formes et des 2-fermées.

In this paper, the singularities of exterior differential forms on a manifold are studied from a view-point analogous to the classical theory of singularities of differentiable mappings. The main invariants considered are the rank and the class (in E. Cartan’s sense) of an exterior differential form. The generic behaviour of these invariants is studied by means of the transversality theorems. For instance, the set of points of a $n$-dimensional manifold, where the class of a one-form is $n-c$, is generically a regular submanifold of codimension $\frac{c(c+1)}{2}$. Higher order singularities are studied in some detail in the case of low dimensions (1-forms in 3 dimensions and 2-forms in 4 dimensions). Then is proved the existence of models for the simplest singularities of 1-forms and closed 2-forms.

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