Idéaux de fonctions différentiables. II

Tougeron, Jean-Claude; Merrien, Jean

Annales de l'Institut Fourier, Tome 20 (1970) no. 1, pp. 179-233.

B. Malgrange a montré que l’idéal engendré par un ensemble fini de fonctions analytiques dans l’algèbre des fonctions de classe $C^{\infty }$ sur un ouvert de ${\mathbf{R}}^n$ est fermé. Par des techniques assez différentes de celles de B. Malgrange, nous étudions des propriétés de ce type, reliant l’analytique et le différentiable.

Plus précisément, si ${\mathbf{E}}_n$ (resp. ${\mathbf{A}}_n$) désigne des germes de fonctions de classe $C^{\infty }$ (resp. analytiques) au voisinage de l’origine de ${\mathbf{R}}^n$, et $\theta$ une fonction de classe $C^{\infty }$ de ${\mathbf{R}}^n$ dans ${\mathbf{R}}^p$, nous étudions, en utilisant des “stratifications” et des techniques homologiques, l’image ${\theta }^{*}\left(\pi \right)$ dans ${\mathbf{E}}_n$ d’un idéal $\pi$ de ${\mathbf{A}}_p$. Nous montrons alors que certaines propriétés de $\pi$ sont “en général” conservées : fermeture, réduction et équidimensionnalité, normalité.

B. Malgrange has shown that the ideal generated by a finite set of analytic functions in the algebra of functions of the class $C^{\infty }$ on an open set of ${\mathbf{R}}^n$ is closed. By quite different techniques than those of B. Malgrange we study properties of this sort while interrelating the analytic and the differentiable notions.

More precisely, if ${\mathbf{E}}_n$ (resp. ${\mathbf{A}}_n$) denotes the ring of germs of functions of $C^{\infty }$ (resp. analytic) in the neighborhood of the origin of ${\mathbf{R}}^n$, and $\theta$ is a function, of $C^{\infty }$, on ${\mathbf{R}}^n$ to ${\mathbf{R}}^p$, we study, using “stratifications” and homological techniques, the image ${\theta }^{*}\left(\pi \right)$ in ${\mathbf{E}}_n$ of an ideal $\pi$ of ${\mathbf{A}}_p$. We show then that certain properties of $\pi$ are “in general” conserved : closure, reduction and equidimensionality, and normality.

[1] N. Bourbaki, Algèbre commutative, Chapitres I, II, III, IV.

[2] J. Frisch, Points de non-platitude d'un morphisme d'espaces analytiques. | Zbl

[3] H. Hironaka, Resolution of singularities, chapitre II, Annals of Mathematics, vol. 79. | Zbl

[4] B. Malgrange, Ideals of differentiable functions. Oxford Uni-Press 1966. | Zbl

[5] M. Nagata, Local Rings. Interscience tracts in pure and applied mathematics. | Zbl

[6] J. P. Serre, Algèbre locale. Multiplicités. Lecture notes in mathematics — 11 — (1965). | Zbl

[7] J. Cl. Tougeron, Idéaux de fonctions différentiables, I. Annales de l'Institut Fourier, (1968), tome XVIII. | Numdam | Zbl

[8] J.Cl. Tougeron, Faisceaux différentiables quasi-flasques, C.R. Acad. Sc. Paris, t. 260. | Zbl