A Weierstrass-Stone theorem for Choquet simplexes

Edwards, David Albert; Vincent-Smith, G. F.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 18 (1968) no. 1, pp. 261-282.

Soit $X\ne \varnothing$ un convexe compact d’un espace localement convexe séparé, soit $A\left(X\right)$ l’espace de fonctions réelles affines continues sur $X$, et soit $L$ un sous-espace de $A\left(X\right)$ linéaire qui contient les fonctions constantes. Parmi les faces fermées de $X$ sur lesquelles les fonctions de $L$ sont toutes constantes on appelle les faces maximales $L$-faces. Nos théorèmes principaux donnent quelques conditions sous lesquelles $L$ contient exactement ces fonctions qui sont constantes sur chaque $L$-face. En particulier, $L$ est dense dans $A\left(X\right)$ si et seulement si (i) $L$ sépare les points extrémaux de $X$, (ii) pour chaque $f$ de $A\left(X\right)$ l’ensemble $\{g\in L:g>f\}$ est décroissant filtrant.

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