Prolongement de faisceaux analytiques cohérents

Serre, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 16 (1966) no. 1, pp. 363-374.

Soit $X$ un espace analytique complexe normal, soit $S$ un sous-ensemble analytique fermé de $X$, de codimension $\ge 2$, et soit $\mathbf{F}$ un faisceau analytique cohérent sans torsion sur $X-S$. On démontre l’équivalence des trois propriétés suivantes :

(i) L’image directe de $\mathbf{F}$ par l’injection $X-S\to X$ est un faisceau cohérent sur $X$.

(ii) Il existe un faisceau analytique cohérent sur $X$ qui prolonge $\mathbf{F}$.

(iii) Pour tout $s\in S$, il existe un voisinage ouvert $U$ de $s$ tel que la restriction de $\mathbf{F}$ à $U-S\cap U$ soit engendrée par ses sections (sur $U-S\cap U$).

Les implications (i) $\to$ (ii) $\to$ (iii) sont triviales. L’implication (iii) $\to$ (i) utilise le théorème de Remmert-Stein sur le prolongement des sous-variétés.

Lorsque $X$ est une variété projective, les conditions (i), (ii) et (iii) équivalent à dire que le faisceau $\mathbf{F}$ est “algébrique”.

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