On spectral representation for selfadjoint operators. Expansion in generalized eigenelements

Gerlach, Eberhard

Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 2, pp. 537-574.

L’auteur reprend l’étude classique de la représentation spectrale d’un opérateur auto-adjoint $A$ dans un espace de Hilbert $\mathscr{H}$. Il y ajoute des précisions nouvelles qui conduisent à la définition du projecteur infinitésimal $P^{\left)\lambda \right)}$ sur l’espace des vecteurs propres généralisés ${\mathscr{H}}^{\left(\lambda \right)}$. Il obtient, par conséquent, des énoncés plus précis de bien des théorèmes classiques. Il introduit ensuite la notion de “$A$-expansibilité” d’un sous-ensemble $S\subset \mathscr{H}$. Cette notion est appliquée à l’étude des espaces fonctionnels propres de Hilbert (avec un noyau reproduisant). En particulier, pour de tels espaces formés de fonctions analytiques de $n$ variables complexes dans un domaine $D$, on obtient que pour tout opérateur auto-adjoint, les fonctions propres généralisées sont des fonctions analytiques dans $D$.

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