Soit un laplacien généralisé, c’est-à-dire le générateur infinitésimal d’un semi-groupe sous-markovien d’opérateurs de convolution. On veut étudier les solutions élémentaires de . Nous ne considérons que les définis sur le groupe , la droite réelle.
S’il existe une solution élémentaire positive, alors il en existe une minimale . Celle-ci s’exprime comme où . Il s’agit ici du cas transient. Utilisant les méthodes de la théorie du potentiel on démontre que possède des limites, au sens des distributions, aux points et . La dérivée s’annule à l’infini.
Il se peut que n’ait aucune solution élémentaire en tant que distribution tempérée. Dans le cas contraire, le problème est bien adapté au groupe et, outre le cas transient, il y a le cas récurrent. Dans ce dernier cas, il existe une famille de constantes positives telles que converge vers une solution élémentaire . Pour cette solution la dérivée possède des limites à droite et à gauche, à savoir
où . La dérivée seconde s’annule à l’infini. Nos méthodes, dans le cas récurrent, sont essentiellement celles de la théorie du potentiel mais un peu d’analyse harmonique y intervient.
@article{AIF_1965__15_1_169_0, author = {Herz, Carl S.}, title = {Les th\'eor\`emes de renouvellement}, journal = {Annales de l'Institut Fourier}, pages = {169--187}, publisher = {Institut Fourier}, address = {Grenoble}, volume = {15}, number = {1}, year = {1965}, doi = {10.5802/aif.203}, mrnumber = {196824}, zbl = {0202.47103}, language = {fr}, url = {http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.203/} }
Herz, Carl S. Les théorèmes de renouvellement. Annales de l'Institut Fourier, Tome 15 (1965) no. 1, pp. 169-187. doi : 10.5802/aif.203. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.203/
[1] A renewal theorem, Journ. Math. and Mech., 10 (1961), 619-624. | MR | Zbl
et ,[2] On sequences of sums of independent random vectors, 4th Berkeley Symposium on Math. Stat. and Prob., vol. II, 213-226. | MR | Zbl
,[3] Hitting probabilities, Journ. Math. and Mech., 11 (1962), 593-614. | MR | Zbl
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