Fonctionnelles multiplicatives et additives de Markov

Meyer, Paul-André

Annales de l'Institut Fourier, Tome 12 (1962), pp. 125-230.

Première partie : le premier chapitre contient un exposé sommaire des définitions de la théorie du potentiel de Hunt ; le second introduit les fonctionnelles multiplicatives de Markov, les semi-groupes subordonnés, les temps terminaux, et établit l’équivalence de ces notions. Le chapitre III donne la caractérisation de certains semi-groupes subordonnés (dits “exacts”) qui possèdent une théorie du potentiel satisfaisante, et montre que tout semi-groupe subordonné diffère “peu” d’un tel semi-groupe exact. À l’aide de ces résultats, on peut établir au chapitre IV que toutes les fonctionnelles multiplicatives possèdent la “propriété forte de Markov”.

Enfin, le chapitre V a pour objet la caractérisation des semi-groupes subordonnés exacts au moyen de leur résolvante.

Seconde partie : le premier chapitre étudie les conséquences d’une nouvelle hypothèse [l’hypothèse (L)], particulièrement en ce qui concerne : les familles filtrantes croissantes et décroissantes de fonctions excessives ; les deux structures naturelles d’espace de Riesz sur l’espace des différences de fonctions excessives ; les ensembles semi-polaires et la topologie fine. Le second chapitre définit les principales classes de fonctions excessives : fonctions harmoniques, potentiels, fonctions régulières, fonctions de la classe (D). L’étude des fonctionnelles additives de Markov est abordée au chapitre III, poursuivie au chapitre IV : le résultat fondamental en est le théorème d’existence et d’unicité de la représentation d’un potentiel de la classe (D) comme potentiel d’une fonctionnelle additive de la “classe d’unicité”. Enfin, les chapitres V et VI contiennent, l’un des théorèmes de compacité (qui peuvent dans certains cas tenir lieu du théorème de compacité vague des ensembles bornés de mesures), l’autre des applications à la théorie “classique” du potentiel. Le chapitre VII, consacré aux changements aléatoires de temps, établit un lien entre les deux parties de ce travail, lorsque les fonctionnelles envisagées sont continues.

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Séminaire de théorie du potentiel (Séminaire Brelot-Choquet-Deny). Institut Henri-Poincaré, Paris. [II] Cinquième année (consacrée aux travaux de Hunt et Doob).