Anneau des endomorphismes d'un module de type fini sur un anneau local

Lafon, Jean-Pierre

Annales de l'Institut Fourier, Tome 11 (1961), pp. 313-384.

L’objet de cet article est l’étude de l’anneau $\mathbf{L}\left(E\right)$ des $A$-endomorphismes d’un module de type fini $E$ sur un anneau local $A$ d’idéal maximal $m$, de corps des restes $k$. Si $C$ est un sous-module caractéristique, on définit un homomorphisme naturel de $\mathbf{L}\left(E\right)$ dans $\mathbf{L}(E/C)$. En particulier, si $C=mE$, l’image de $\mathbf{L}\left(E\right)$ dans $\mathbf{L}(E/mE)$ par cet homomorphisme $\varphi$ est une approximation de l’anneau $\mathbf{L}\left(E\right)$ par une sous-algèbre de la $k$-algèbre $\mathbf{L}(E/mE).$ Réciproquement, si $R$ est une algèbre de dimension finie sur un corps $k$, il existe un anneau local $A$ de corps des restes $k$ et un $A$-module de type fini $E$ tels que $\varphi \left[\mathbf{L}\right(E\left)\right]$ soit isomorphe à $R$. Si $E$ est fidèle, la surjectivité de $\varphi$ est équivalente au fait que $E$ est libre. Un exemple simple montre que l’homomorphisme naturel de $\mathbf{L}\left(E\right)$ dans $\mathbf{L}(E/m^{i}E)$ peut ne pas être surjectif pour $i$ grand. Si $C$ est un sous-module caractéristique maximal, l’idéal ${\mathrm{Hom}}_A(E,C)$ est bilatère maximal et, réciproquement, tout idéal bilatère maximal $I$ tel que ${\Sigma }_{u\in I}u\left(E\right)$ soit distinct de $E$ est de ce type. La recherche des $A$-modules $E$ tels que l’anneau $\mathbf{L}\left(E\right)$ soit commutatif se ramène, par extension d’anneau, à la recherche de modules dont les seuls endomorphismes sont les homothéties. Si l’anneau $A$ est intègre, l’égalité $\mathbf{L}\left(E\right)=A$ implique que $E$ est isomorphe à un idéal convenable de $A$. Il n’en est plus de même dans le cas général. L’étude d’un endomorphisme particulier $u$ se fait, si l’anneau $A$ est hensélien, par une technique de relèvement de décomposition en somme directe. Si l’anneau $A$ est factoriel, on obtient une condition suffisante portant sur le polynôme minimal de $u$.

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