Quelques propriétés des fibrés au sens de Kan

Zisman, Michel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 10 (1960), pp. 345-457.

Le chapitre I donne des définitions élémentaires de la théorie. Il contient une démonstration simple du théorème d’extension des homotopies et du fait que si $X$ est un complexe de Kan, la relation homotopie entre applications $Y\to X$ est une relation d’équivalence. On termine ce chapitre en montrant que, comme dans le cas topologique, on peut définir les groupes d’homotopie e”. Cette définition est utile pour étudier le cocycle obstruction (chapitre IV).

Le chapitre II est un préliminaire aux chapitres III et IV.

Le chapitre III est réservé à la démonstration de l’existence des suites spectrales d’homologie et de cohomologie des fibrés au sens de Kan. La méthode suivie est celle donnée par V.K.A.M. Gugenheim et J.H.C. Moore.

Dans le chapitre IV, on montre que la théorie classique de l’obstruction à la construction d’une section d’un fibré (de Serre, dont la base est un C.W. complexe) est valable sans restriction pour les fibrés au sens de Kan.

La définition du cocycle obstruction ne présente aucune difficulté compte tenu du chapitre I. La définition de la cochaîne différence s’est avérée au contraire relativement plus difficile.

[1] Barcus, Note on cross sections over C.W. complexes, Quat. J. of, 2e série, 5, 1954, p. 150-150. | MR | Zbl

[2] H. Cartan, Séminaire E.N.S., 7e année, 1954-1955, Algèbre d'Eilenberg Mac-Lane et homotopie.

[3] H. Cartan, Séminaire E.N.S., 11e année, 1958-1959. | Zbl

[4] S. Eilenberg, Singular Homology theory, Ann. of. Math., Vol. 45, 1944, p. 63-69. | Zbl

[5] S. Eilenberg and S. Mac-Lane, On the group H (`, n), I Ann. of Math., Vol. 58, 1953, p. 55-106. | Zbl

[6] S. Eilenberg and S. Mac-Lane, Acyclic Models, Amer J. of Math., Vol. 65, 1955, p. 189-199. | Zbl

[7] S. Eilenberg and Zilber, Semi-simplicial complexes and singular homology, Ann. of Math., Vol. 51, 1950, p. 499-513. | MR | Zbl

[8] S. Eilenberg and Zilber, On product of complexes, Amer J. of Math., Vol. 75, 1953, p. 200-204. | MR | Zbl

[9] D. Kan, Abstract homotopy, I and II, Proc. Nat. Acad. Sci., Vol. 41, 1955, p. 1092-1096. | MR | Zbl

[10] D. Kan, A Combinatorial definition of homotopy groups, Ann. of Math., Vol. 67, 1958, p. 282-312. | MR | Zbl

[11] D. Kan, Adjoint functors, Trans. Amer. Math. Soc., 87, 1958, p. 294-329. | MR | Zbl

[12] V. K. A. M. Gugenheim and J. C. Moore, Acyclic models and Fibrespaces, Trans. Amer. Math. Soc., 85, 1957, p. 182-207. | MR | Zbl

[13] S. Mac-Lane, Simplicial Topology I, Lecture notes Chicago, 1959.

[14] J. Milnor, The geometric realisation of a semi-simplicial complex, Ann. of Math., Vol. 65, 1957, p. 357-162. | MR | Zbl

[15] J. C. Moore, C.S.S. complexes and Postnikov systems, Lecture notes Princeton, 1957. | Zbl

[16] J. C. Moore, Seminar on algebraïc homotopy. Princeton 1955. | Zbl

[17] J. P. Serre, Homologie singulière des espaces fibrés. | Zbl

[18] N. Steenrod, The topology of fibre bundles, Princeton university press. | Zbl

[19]

[20] M. Zisman, Suite spectrale des fibrés au sens de Kan, Compte Rendus Acad. Sci., t. 248, 1959, p. 762-764. | MR | Zbl

[21] M. Zisman, L'obstruction à la construction d'une section d'un fibré au sens de Kan, Compte Rendus Acad. Sci., t. 250, 1960, p. 646-647. | MR | Zbl

[22] M. Zisman, Id., Compte Rendus, Acad. Sci. t. 250, 1960, p. 793-794. | Zbl