Tangentialstrukturen

Bauer, Friedrich-Wilhelm

Annales de l'Institut Fourier, Tome 9 (1959), pp. 111-146.

Les structures tangentielles sont une généralisation des structures homologiques de l’auteur (telles que structure de $\check{\mathrm{C}}$ech, de Sitnikiv, etc.). Voir des exemples : les variétés de dimension $\ge r$ différentiablement plongées dans ${\mathbf{R}}^n$, les polyèdres de dimension $\ge r$ (rectangulaires), dans ${\mathbf{R}}^n$ les sous-espaces de dimension $\ge r$ de ${\mathbf{R}}^n$ (notés respectivement : $M_r,P_r,D_r$).

On cherche des relations purement algébriques entre les structures tangentielles.

Il existe une théorie de dualité pour les structures tangentielles : à toute structure tangentielle $P$ est associée une structure tangentielle $\tilde{P}$, telle que l’on ait :

$$\stackrel{\approx }{P}=P.$$

Notre but est d’exprimer les structures tangentielles plus compliquées au moyen de structures tangentielles plus simples (au point de vue algébrique).

Pour une structure tangentielle donnée $P$ nous construirons deux nouvelles structures tangentielles : l’extension projective de $P:P^p$ et l’extension injective de $P:P^i$.

On a obtenu les théorèmes suivants :

$$\widetilde{P^i}={\tilde{P}}^p.$$

$$\widetilde{P^p}={\tilde{P}}^i.$$

Pour les exemples donnés plus haut, on a les relations

$$M_r=P_r^p$$

$$D_r=P_r^i.$$

Des liens entre les structures différentiables et les ensembles de dimension $\ge r$ seront exposés dans un article ultérieur.

[1] F. W. Bauer, Über Fortsetzungen von Homologiestrukturen, Math. Ann. Bd., 135 S. 93-114 (1958). | MR | Zbl

[2] F. W. Bauer, Spezielle Homologiestrukturen, Math. Ann. Bd. 136 S. 348-364 (1958). | MR | Zbl

[3] W. Hurewicz et H. Wallman, Dimension Theory, Princeton Univ. Press (1948). | Zbl