Sur la transformation de Mellin et les fonctions à dominante angulaire algébrico-logarithmique en un point

Blambert, Maurice

Annales de l'Institut Fourier, Tome 8 (1958), pp. 367-407.

L’objet de ce mémoire d’ordre surtout méthodologique est de mettre en évidence l’intérêt du choix d’une fonctionnelle convenable (ici la transformation de Mellin) pour l’étude d’une classe de points singuliers de fonctions analytiques aux voisinages desquels ces fonctions ne sont pas uniformes.

Cette classe contient la sous-classe des points singuliers algébrico-logarithmiques rencontrés dans l’étude des solutions analytiques des équations différentielles linéaires et homogènes du type de Fuchs. La fonction “déterminante” est soumise à une transformation de Mellin prise sur un rayon issu du point singulier considéré et on étudie l’ensemble singulier de la fonction analytique transformée (la “génératrice”). Les résultats obtenus contiennent entre autres cas particuliers celui où l’origine du rayon est point régulier pour la “déterminante” ; la génératrice est alors entière et d’ordre à la Ritt égal à $O$ dans toute demi-bande horizontale gauche du plan de sa variable. Inversement partant de la considération d’une fonction possédant un ensemble singulier convenablement précisé (par exemple se réduisant à des pôles en nombre fini dans un demi-plan) une transformation inverse de la précédente permet de retrouver le type de points singuliers étudiés. On peut ainsi mettre en évidence de nouvelles classes de points singuliers en considérant des fonctions génératrices dont les ensembles singuliers sont connus, en d’autres termes dans certains types de problèmes au lieu de caractériser un point singulier d’une fonction analytique par le comportement de cette fonction au voisinage de ce point il est plus intéressant de le caractériser par l’ensemble singulier de la transformée de cette fonction à l’aide d’une certaine fonctionnelle. L’auteur considère le plus souvent des fonctions définies par prolongement analytique de sommes de séries de Dirichlet générales et montre par des applications au problème de la composition (au sens Hadamard-Mandelbrojt) des singularités des fonctions analytiques définies de cette manière l’intérêt à la fois de la classe de points singuliers étudiés et de l’outil utilisé.

I. [1] W. Bernstein, Leçons sur les progrès récents de la théorie des séries de Dirichlet, Paris, 1933. | JFM | Zbl

II. [1] M. Blambert, Un problème de Composition des singularités des séries de Dirichlet générales, Acta Mathematica, t. 89, p. 217, 1953. | MR | Zbl

[2] M. Blambert, Quelques théorèmes Faberiens relatifs au problème Hadamard-Mandlbrojt, Rend. Circolo Mat. Palermo, s. 2, t. III 1954. | Zbl

[3] M. Blambert, Sur les points singuliers des séries de Dirichlet d'une classe de Cramér, Annales Ec. Norm. Sup., 1955. | EuDML | Numdam | MR | Zbl

[4] M. Blambert, Quelques propriétés de répartition des singularités d'une série de Dirichlet générale en relation avec la nature de la suite des coefficients, Publications Scientifiques de l'Université d'Alger, 1956. | Zbl

III. [1] R. Jungen, Sur les séries de Taylor n'ayant que des singularités algébrico-logarithmiques sur leur cercle de convergence, Commentarii Math. Helv., v. 3, p. 226, 1931). | EuDML | JFM | Zbl

IV. [1] S. Mandelbrojt, Dirichlet Series. The Rice Institute Pamphlet, v. 31, 1944. | MR | Zbl

V. [1] R. Wilson, Functions with dominant singularities of the generalized algebraic-logarithmic type, Proceedings Lond. Math. Soc., ser. 2, v. 42, 1937. | JFM | Zbl

[2] R. Wilson, Functions with dominant singularities of the generalized algebraic-logarithmic type. (II) : on the order of the Hadamard produit, Proceedings of the Lond. Math. Soc., v. 43, 1937. | JFM | Zbl