Les formes extérieures en mécanique

Gallissot, François

Annales de l'Institut Fourier, Tome 4 (1952), pp. 145-297.

Les postulats de la Mécanique classique conduisent à associer à un point matériel et à un système paramétrique holonome une forme extérieure $\Omega$ de degré 2 sur une variété différentiable $V_{2n+1}$. Les équations du mouvement sont les caractéristiques de $\Omega$, le champ caractéristique $E$ étant défini par $i\left(E\right)\Omega =0$ (chap. I). Les opérateurs $i\left(\right)$ et $\theta \left(\right)$ de M.H. Cartan appliqués à la forme $\Omega$ permettent de faire une étude complète de la notion de liaison et du problème de l’intégration (chap. VI).

La considération de l’espace tangent $T$ à $V_{2n+1}$, son dual $T^{\prime }$ espace des formes Pfaff permet d’interpréter toute liaison comme composée de deux éléments : 1) une sous-variété $a\left(M\right)=0$, $M\in V_{2n+1}$, $da\in T^{\prime }$, 2) d’un champ de liaison $El\in T$, les deux éléments étant liés par la condition $i(E+El)da=0$.

Les différents types de liaison sont étudiés ainsi dans les chapitres II et III : frottement de solides, liaisons de puissance nulle, liaisons d’Appell, liaisons par asservissement de M.H. Béguin. Impossibilités et Indéterminations pouvant se présenter pour certaines liaisons sont expliquées dans les chapitres IV et V.