On functions whose translates are independent

Edwards, Ralph E.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 31-72.

Ce travail est l’étude de divers cas particuliers d’un problème nouveau, semble-t-il, concernant les translatées de fonctions ou de distributions sur un groupe. Soit $\mathbf{E}$ un espace vectoriel topologique de fonctions ou de distributions sur un groupe abélien $G$ localement compact ; $\mathbf{E}$ est supposé invariant par les translations $a\to f_a\left(x\right)=f(x+a)(f\in \mathbf{E},a\in G)$. Si $f\in \mathbf{E}$ et si $A$ est un sous-ensemble non vide de $G$, $\mathbf{I}(f,A)=\mathbf{I}(f,A,\mathbf{E})$ désigne le sous-espace vectoriel fermé de $\mathbf{E}$ engendré par les translatées $f_a$ de $f$ avec $a\in A$. On dira qu’une $f\in \mathbf{E}$ a ses translatées indépendantes dans $\mathbf{E}$ si $f_a\notin \mathbf{I}(f,A)$ quel que soit l’ensemble fermé $A$ ne contenant pas $a$.

Sous certaines hypothèses, satisfaites par tous les espaces $\mathbf{E}$ usuels, on donne (section 2) des conditions nécessaires et suffisantes très générales pour que $f$ ait ses translatées indépendantes. Ces conditions sont étudiées dans les cas suivants : $\mathbf{E}=L^{2}G$, avec $G$ discret (section 3), $G=T$ (section 4), $G=R$ (section 5). Dans les cas $G=T$ ou $R$ on obtient également des renseignements sur $\mathbf{E}=L^{1}G$ et sur les espaces de distributions. La section 6 concerne l’espace $\mathbf{E}=C{R}^m$ des fonctions continues sur $R^m$, muni de la topologie de la convergence compacte. Lorsque $G$ est compact, des conditions suffisantes pour qu’une $f\in L^{2}G$ ait ses translatées indépendantes dans cet espace sont obtenues (section 7) à l’aide d’un théorème de $\check{\mathrm{S}}$ilov concernant la régularité de certains anneaux normés. Diverses extensions sont signalées dans la section 8, où le problème est relié à des questions d’approximations par polynômes trigonométriques et à la théorie des fonctions définies positives.

Dans presque tous les cas, la méthode utilisée dépend des relations entre l’analyse harmonique et les classes quasi-analytiques de fonctions ; le manque d’informations précises dans cette direction rend difficile une étude détaillée du cas général où $G$ est un groupe quelconque. Si une conclusion générale peut s’énoncer brièvement, c’est la suivante : pour que $f$ ait ses translatées indépendantes, il faut et il suffit que sa transformée de Fourier $F$ (en un sens convenable) ne soit pas “trop petite” à l’infini et ne s’annule pas “trop souvent”. Le sens précis qu’il faut attribuer à ces conditions varie notablement d’un cas à l’autre.

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