Sur la méthode de résonance et sur un théorème concernant les espaces de type $(B)$

Gal, I. S.

doi:10.5802/aif.34

Sur la méthode de résonance et sur un théorème concernant les espaces de type

(B)

Gal, I. S.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 23-30.

Résumé

L’objet de la note est l’extension du principe de la borne uniforme pour le cas des suites d’opérations bornées et homogènes, mais non sous-additives. Dans ce but l’auteur introduit la notion de suite asymptotiquement sous-additive : la suite d’opérations $u_{n} (x)$ définies dans un espace complet $E$ est asymptotiquement sous-additive, si elle satisfait aux conditions

∥ u_{n} (x + y) ∥ \leq ∥ u_{n} (x) ∥ + O (| u_{n} | \cdot ∥ y ∥)

uniformément pour $x, y \in E$ et

inf_{∥ y ∥ \leq 1} [∥ u_{n} (x + y) ∥ + ∥ u_{n} (x) ∥ - ∥ u_{n} (y) ∥] \geq O (| u_{n} |)

pour chaque $x \in E$ , mais non nécessairement uniformément par rapport à $x$ . Par l’utilisation d’une méthode de H. Lebesgue (méthode de résonance) on obtient alors le résultat. Si la suite ${u_{n} (x)}$ asymptotiquement sous-additive est telle que lim. sup. $∥ u_{n} (x) ∥ < \infty$ pour chaque $x \in E$ , alors la suite des normes est bornée, c’est-à-dire $| u_{n} | \leq μ < \infty$ pour $n = 1, 2 \dots$ .

MR Zbl

DOI : 10.5802/aif.34

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Gal, I. S. Sur la méthode de résonance et sur un théorème concernant les espaces de type $(B)$. Annales de l'Institut Fourier, Tome 3 (1951), pp. 23-30. doi : 10.5802/aif.34. http://www.numdam.org/articles/10.5802/aif.34/

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