Sur une équation de Langmuir généralisée

Gosse, René

Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), pp. 5-11.

Cet article posthume extrait de notes ou brouillons par E. Cotton concerne, pour les équations de la forme

$$y^{\prime \prime }+y^{\prime }p(x,y,y^{\prime })+q(x)\frac{da\left(y\right)}{dy}=f\left(y\right),$$

la solution définie par les conditions initiales $x=x_0$, $y=y_0$, $y^{\prime }=0$. Après avoir énoncé des hypothèses concernant les fonctions $p,q,a,f$, l’auteur montre que toute solution qui passe par un minimum pour $x=x_0$, reste supérieure à ce minimum pour $x>x_0$ et que, dans ces mêmes conditions, $\left|y\right|$ et $\left|y^{\prime }\right|$ restent bornés. Enfin, lorsque $p$ a une borne inférieure positive, $y^{\prime }$ tend vers zéro avec $1/x$ et $y$ tend vers une limite $l$ racine de $f\left(y\right)=0$ ; c’est une généralisation d’un résultat concernant l’équation $y^{\prime \prime }=f\left(y\right)$ si importante en mécanique.