Sur les moyennes arithmétiques des suites de fonctions orthogonales

Gal, I. S.

Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), pp. 53-59.

Soit $\left\{{\varphi }_{\nu }\right(x\left)\right\}$ une suite orthonormale dans l’intervalle $(-\infty <a\le x\le b<\infty )$. L’auteur démontre, que ${\sum }_{\nu =1}^N\left(1-\frac{\nu -1}{N}\right){\varphi }_{\nu }\left(x\right)=0\left(N^{\frac{1}{2}}(logN{)}^{\frac{1}{2}+\epsilon }\right)$ pour tout $\epsilon >0$ et presque partout dans $a\le x\le b$. La démonstration est basée sur un théorème de MM. Gál et Koksma et on peut généraliser aussi pour le cas $-\infty \le x\le \infty$ (théorème auxiliaire). En utilisant ce théorème auxiliaire on obtient tout de suite l’estimation connue pour les fonctions de Lebesgue (théorème 2) [voir Kaczmarcz et Steinhaus, Theorie der Orthogonalreihen, Warszawa, 1935, 577].