Étude des fonctions sous-harmoniques au voisinage d'un point singulier

Brelot, Marcel

Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), pp. 121-156.

D’après le développement classique d’une fonction harmonique $u$ de l’espace à $\tau$ dimensions au voisinage d’un point $O$ (ce point exclu), on sait que la limitation de croissance en moyenne du type : $r^{\lambda }{𝔐}_{u^{+}}^r=o\left(r\right)$ ou $o\left(r\right)$ $(\lambda >\tau -2)$ entraîne la même limitation vraie pour $u^{+}$ (et même $\left|u\right|$) par disparition dans le développement des termes de croissance plus rapide. L’auteur avait montré (Act. sc. ind. no 139 (1934)) que ce passage de ${𝔐}_{u^{+}}$ à $u^{+}$ s’étend à $u$ sousharmonique admettant une majorante harmonique (au voisinage de $O$, $O$ exclu) ; il fait maintenant à peu près disparaître cette restriction de majoration harmonique et développe une étude analogue pour le voisinage du point à l’infini. Voici l’idée de la théorie pour $\tau =3$. Supposons $r^s{𝔐}_{u^{+}}^r$ sommable en $r$ voisin de o ($s>o$) et soit $p$ le plus grand entier $<s$. On développe $1/MP$ selon ${\sum }_{n=0}^{\infty }{𝔓}_n(cos\gamma ){\overline{OP}}^n/{\overline{OM}}^{n+1}$, dont on prendra un $\Sigma$ partiel pour former $\nu \left(M\right)=\int \left(1/MP-{\sum }_{n=0}^p\right)d{\mu }_P$ ($\mu$ mesure associée à $u$). Grâce à une étude comparée de l’allure de $u$ et $\mu$, on verra que l’intégrale existe, que ${\overline{OM}}^{1+s}{\nu }^{+}\left(M\right)\to o$ avec $OM$ et que $r^{1+s}{𝔐}_{{(u-\nu )}^{+}}^r\to o$. De sorte que $u-\nu$ harmonique satisfait à cette même limitation vraie. On a ainsi une représentation intégrale dont on conclut que si $r^{1+\lambda }{𝔐}_{u^{+}}^r\to o$, ${\overline{OM}}^{1+\lambda +\epsilon }{u}_{+}\to o$ $(\lambda >o,\epsilon >o)$. On peut perfectionner et supprimer en particulier cet $\epsilon$ si $\lambda$ est non entier ou si $\lambda =1$. Ce cas de $\lambda =1$ est traité et approfondi autrement, par la méthode, simple en principe, mais délicate, de passage à la limite dans une intersphère, sur la représentation de Riesz avec fonction de Green ; elle est inspirée d’un travail récent de Heins (Annals of Math., 1949) donnant une représentation intégrale de $u$ sousharmonique dans le plan entier, avec des hypothèses que l’on améliore ici. Toute cette étude demande ou amène beaucoup de lemmes dont certains présentent de l’intérêt en eux-mêmes, en particulier des compléments sur le problème de Dirichlet.