Systèmes totaux de fonctions harmoniques

Deny, Jacques

Annales de l'Institut Fourier, Tome 1 (1949), pp. 103-113.

L’auteur développe et complète une note sommaire sur l’approximation par des fonctions harmoniques (Bull. Soc. Math. de France, 73 (1945)). Considérons dans l’espace euclidien ${\mathbf{R}}^m$ $(m\ge 2)$ le point courant $x$ à distance $\left|x\right|$ de l’origine, un compact $E$ et la fonction harmonique fondamentale $h\left(x\right)$ valant $-log\left|x\right|$ $(m=2)$ ou $|x{|}^{2-m}$ $(m>2)$. Si $H_n$ est tout polynôme harmonique homogène de degré $n$, on pose

$${\Phi }_n^a\left(x\right)=\frac{H_n(x-a)}{|x-a{|}^{2n+m-2}}(n\ge 1),{\Phi }_0^a\left(x\right)=H_{0}h(x-a)(H_0=C^{\mathrm{te}})$$

et ${\Phi }_n^{\infty }\left(x\right)=H_n\left(x\right)$ $(n\ge 0)$. L’auteur caractérise de diverses manières la variété linéaire $ℳ$ des distributions de masse sur $E$ dont le potentiel est nul sur $CE$ ; il montre essentiellement que les fonctions finies continues sur la frontière $\stackrel{*}{E}$ de $E$ orthogonales à $ℳ$ constituent la variété linéaire fermée engendrée par les ${\Phi }_n^{a}p$ où $a_0{a}_1...a_p...$ sont des points choisis respectivement dans les domaines composant $CE$. Il s’ensuit que les ${\Phi }_n^{a}p$ forment un système total dans l’espace des fonctions finies continues sur $\stackrel{*}{E}$, si et seulement si $CE$ n’est effilé en aucun point-frontière. Compléments divers.