Hiroshi Umemura et les mathématiques françaises

Ramis, Jean-Pierre

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Volume à la mémoire de Hiroshi Umemura : “Équations de Painlevé et théories de Galois différentielles”, Tome 29 (2020) no. 5, pp. 1007-1052.

Le but de ce texte est triple. D’abord historique  : je retracerai l’évolution de deux courants mathématiques nés en France à la fin du XIX-ème siècle (l’un avec P. Painlevé, l’autre avec E. Picard, E. Vessiot et J. Drach) et leur influence sur l’oeuve de Hiroshi Umemura. Je décrirai ensuite, en entrant un peu dans la technique, le groupe de Galois de dimension infinie d’Umemura, l’une de ses contributions majeures, et ses relations avec le groupoïde que Bernard Malgrange a introduit peu après. Je livrerai aussi tout au long de ce texte un certain nombre de souvenirs personnels (comme témoin et parfois acteur). On verra apparaître, en arrière plan, un courant d’idées philosophiques auxquelles Umemura était particulièrement sensible, la théorie de l’ambiguïté, dont la pierre angulaire est la « lettre testament » d’Évariste Galois.

This text pursues three aims. First, a historical one : I will trace the evolution of two mathematical currents started in France at the end of the 19th century (one with P. Painlevé, the other with E. Picard, E. Vessiot et J. Drach) and their influence on the work of Hiroshi Umemura. Then, going into some technical detail, I will describe Umemura’s Galois group of infinite dimension, one of his major contributions, and its relation with the groupoïd which Bernard Malgrange introduced shortly afterwards. Finally, I will give throughout the text a few personal memories (as a witness and sometimes actor). In the background, we will see emerging a current of philosophical ideas which Umemura was particularly sensitive to: the theory of ambiguity, the cornerstone of which is the « testament letter” of Evariste Galois.

[1] André, Yves Quatre descriptions des groupes de Galois différentiels, Séminaire d’algèbre Paul Dubreil et Marie-Paule Malliavin (Lecture Notes in Mathematics), Volume 1296, Springer, 1987, pp. 28-41 | DOI | Zbl

[2] André, Yves Différentielles non commutatives et théories de Galois différentielle ou aux différences, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 34 (2001) no. 5, pp. 685-739 | DOI | Zbl

[3] André, Yves Galois Theory, Motives and Transcendental Numbers (2008) (https://arxiv.org/abs/0805.2569v1) | Zbl

[4] André, Yves Idées galoisiennes, Histoires de mathématiques (Journées mathématiques X-UPS 2011), Éditions de l’École polytechnique, 2012, pp. 1-16 | MR

[5] Archibald, Tom Differential Equations and Algebraic Transcendents : French Efforts at the Creation of a Galois Theory of Differential Equations 1880-1910, Rev. Hist. Math., Volume 17 (2011) no. 2, pp. 373-401 | MR | Zbl

[6] Barkatou, Moulay; Cluzeau, Thomas; Weil, Jacques-Arthur; Di Vizio, Lucia Computing the Lie Algebra of the Differential Galois Group of a Linear Differential System, ACM Press, 2016 | Zbl

[7] Bertrand, Daniel Groupes algébriques linéaires et théorie de Galois différentielle (1985-86) Cours de 3ème cycle à l’Université Pierre et Marie Curie (Paris 6), notes de cours rédigées par René Lardon

[8] Bertrand, Daniel Review of Lectures on Differential Galois theory by A. Magid, Bull. Am. Math. Soc., Volume 3 (1996), pp. 289-294 | DOI

[9] Bertrand, Daniel Remarks on the intrinsic inverse problem, Differential Galois theory (Banach Center Publications), Volume 58, Polish Academy of Sciences, 2002, pp. 27-35 | MR | Zbl

[10] Bertrand, Daniel; Umemura, Hiroshi On the definitions of the Painlevé equations, RIMS Kokyuroku, Volume 1296 (2002), pp. 29-34

[11] Birkhoff, George D. The Generalized Riemann Problem for Linear Differential Equations and the Allied Problems for Linear Difference and $q$-Difference Equations, Proc. Am. Acad., Volume 49 (1913) no. 9, pp. 521-568 | DOI | Zbl

[12] Birkhoff, George D. The principle of sufficient reason, Rice Inst. Pamphlet, Volume 28 (1941) no. 1, pp. 24-50 (reproduced in Collected Mathematical Papers, vol. 3, American Mathematical Society, 1950) | MR | Zbl

[13] Biswas, Kingshook; Perez-Marco, Ricardo Log-Riemann Surfaces (2015) (https://arxiv.org/abs/1512.03776v1) | Zbl

[14] Bittmann, Amaury Doubly-resonant saddle-nodes in $({ℂ}^3,0)$ and the fixed singularity at infinity in Painlevé equations : analytic classification, Ann. Inst. Fourier, Volume 68 (2018) no. 4, pp. 1715-1830 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[15] Blázquez-Sanz, David; Casale, Guy; Freitag, James; Nagloo, Joel Some Functional Transcendence Results aroud the Schwarzian Differential Equation, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 29 (2020) no. 5, pp. 1265-1300

[16] Burch, D.; Jones, N.; Muñoz-García, E.; Pérez-Marco, R. Transalgebraic numbers Preliminary unfinished version, UCLA (2002), unpublished. (Communication personnelle.)

[17] Équations différentielles et singularités. En l’honneur de J. M. Aroca (Cano, Felipe; Loray, Frank; Morales-Ruiz, Juan José; Sad, Paulo; Spivakovsky, Mark, eds.), Astérisque, 323, Société Mathématique de France, 2009 | Zbl

[18] Cantat, Serge; Loray, Frank Dynamics on Character Varieties and Malgrange irreducibility of Painlevé VI equation, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2927-2978 | DOI | Numdam | Zbl

[19] Cartan, Élie L’oeuvre scientifique de M. Ernest Vessiot, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 75 (1947), pp. 1-8 | MR | Zbl

[20] Cartier, Pierre Notes sur l’histoire et la philosophie des mathématiques V : le problème de l’espace (https://www.academia.edu/534424)

[21] Cartier, Pierre A mad day’s work : from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry, Bull. Am. Math. Soc., Volume 38 (2001) no. 4, pp. 389-408 | DOI | Zbl

[22] Cartier, Pierre Groupoïdes de Lie et leurs algébroïdes, Séminaire Bourbaki. Volume 2007/2008. Exposés 982–996 (Astérisque), Volume 326, Société Mathématique de France, 2008, pp. 2007-2008 | Zbl

[23] Casale, Guy Sur le groupoïde de Galois d’un feuilletage, Ph. D. Thesis, Université Paul Sabatier (Toulouse III) (2004)

[24] Casale, Guy Enveloppe galoisienne d’une application rationnelle de ${\mathbb{P}}^1$, Publ. Mat., Barc., Volume 50 (2006) no. 1, pp. 191-202 | DOI | MR | Zbl

[25] Casale, Guy Le groupoide de Galois de $P_1$ et son irréductibilité, Comment. Math. Helv., Volume 83 (2008) no. 3, pp. 471-519 | DOI | MR | Zbl

[26] Casale, Guy Morales-Ramis Theorems via Malgrange pseudogroup, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2593-2610 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[27] Casale, Guy Une preuve galoisienne de l’irréductibilité au sens de Nishioka-Umemura de la première équation de Painlevé, Équations différentielles et singularités. En l’honneur de J. M. Aroca (Astérisque), Volume 323, Société Mathématique de France, 2009, pp. 83-100 | Numdam | MR | Zbl

[28] Casale, Guy An introduction to Malgrange Pseudogroup, Théories de Galois et arithmétique des équations différentielles (Séminaires et Congrès), Volume 23, Société Mathématique de France, 2011 | MR | Zbl

[29] Casale, Guy; Davy, Damien Specialisation of the Galois groupoid of a vector field (2004) (https://arxiv.org/abs/2004.09122)

[30] Casale, Guy; Davy, Damien Galois groupoid and confluence of difference equations (2006) (https://arxiv.org/abs/2006.02675v1)

[31] Casale, Guy; Freitag, James; Nagloo, Joel Ax-Lindemann-Weierstrass with derivatives and the genus 0 Fuchsian groups, Ann. Math., Volume 192 (2020) no. 3, pp. 721-765 | DOI | MR | Zbl

[32] Casale, Guy; Roques, Julien Dynamics of rational symplectic mappings and difference Galois theory, Int. Math. Res. Not., Volume 2008 (2008), rnn103, 23 pages | Zbl

[33] Casale, Guy; Weil, Jacques-Arthur Galoisian methods for testing irreducibility of order two nonlinear differential equations, Pac. J. Math., Volume 297 (2018) no. 2, pp. 299-337 | DOI | MR | Zbl

[34] Cassidy, Phyllis; Singer, Michael F. Galois theory of parametrized differential equations and linear differential algebraic group, Differential equations and quantum groups (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics), Volume 9, European Mathematical Society, 2007, pp. 113-155 | Zbl

[35] Chazy, Jean Sur les équations différentielles dont l’intégrale générale possède une coupure essentielle mobile, C. R. Math. Acad. Sci. Paris (1910), pp. 456-458 | Zbl

[36] Connes, Alain Exposé de clôture, Galois (www.alainconnes.org/docs/slidesgaloisihp1)

[37] Connes, Alain Renormalisation et ambiguïté galoisienne, Analyse complexe, systèmes dynamiques, sommabilité des séries divergentes et théories galoisiennes. I. Volume en l’honneur de Jean-Pierre Ramis (Astérisque), Volume 296, Société Mathématique de France, 2004, pp. 113-143 | Numdam | Zbl

[38] Connes, Alain; Marcolli, Matilde Noncommutative Geometry, Quantum Fields and Motives, Colloquium Publications, 55, American Mathematical Society, 2008 | MR | Zbl

[39] The Painlevé property one century later (Conte, Robert, ed.), CRM Series in Mathematical Physics, Springer, 2012, rnn103 | Zbl

[40] Davy, Damien Spécialisation du pseudo-groupe de Malgrange et irréductibilité, Ph. D. Thesis, Université Rennes 1 (2013)

[41] Deligne, Pierre Équations différentielles à points singuliers réguliers, Lecture Notes in Mathematics, 163, Springer, 1970 | Zbl

[42] Deligne, Pierre; Malgrange, Bernard; Ramis, Jean-Pierre Singularités irrégulières, correspondance et documents, Documents Mathématiques, 5, Société Mathématique de France, 2007 | Zbl

[43] Di Vizio, Lucia; Hardouin, Charlotte Intrinsic approach to Galois theory of $q$-difference equations (2019) (to appear in Mem. Am. Math. Soc., https://arxiv.org/abs/1002.4839v5)

[44] Di Vizio, Lucia; Ramis, Jean-Pierre; Sauloy, Jacques; Zhang, Changgui Équations aux $q$-différences, Gaz. Math., Soc. Math. Fr., Volume 96 (2003), pp. 20-49

[45] Drach, Jules Essai sur une théorie générale de l’intégration et sur la classification des transcendantes, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (1898), pp. 243-384 | DOI | Zbl

[46] Drach, Jules Sur les équations différentielles du premier ordre et du premier degré, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 158 (1914), pp. 926-929 | Zbl

[47] Drach, Jules Détermination des cas de réduction de l’équation différentielle ${\mathrm{d}}^{2}y/\mathrm{d}{x}^2=[\varphi \left(x\right)+h]y$, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 168 (1919), pp. 47-50

[48] Évariste, Galois Lettre à Auguste Chevalier, 29 mai 1832, Revue encyclopédique, Volume 55, pp. 568-576 (Le manuscrit original de cette lettre est à la bibliothèque de l’Institut de France, Quai de Conti, Paris) | Zbl

[49] Foata, Dominique Raymond Gérard (1932–2000), Gaz. Math., Soc. Math. Fr., Volume 84 (2000), pp. 1932-2000 | Zbl

[50] Fokas, Athanassios S.; Its, Alexander R.; Kapaev, Andrei A.; Novokshenov, Victor Yu. Painlevé transcendents. The Riemann-Hilbert approach, Mathematical Surveys and Monographs, 128, American Mathematical Society, 2006 | Zbl

[51] Fuchs, Richard Sur quelques équations différentielles linéaires du second ordre, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 141 (1906), pp. 55-558 | Zbl

[52] Fuchs, Richard Über lineare homogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit drei im Endlichen gelegenen wesentlich singulären Stellen, Math. Ann., Volume 63 (1907), pp. 301-321 | DOI | MR | Zbl

[53] Garnier, René Sur les singularités irrégulières des équations différentielles linéaires, Journ. de Math., Volume 2 (1919), pp. 99-200 | Zbl

[54] Gerard, Raymond Geometric theory of differential equations in the complex domain, Complex Anal. Appl., int. Summer Course Trieste 1975, Vol. II, 1976, pp. 269-308

[55] Gérard, Raymond; Sec, Antoinette Feuilletages de Painlevé, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 100 (1972), pp. 47-72 | DOI | Numdam | Zbl

[56] Gérard, Raymond; Tahara, Hidetoshi Singular Nonlinear Partial Differential Equations, Structure of solutions of differential equations (Aspects of Mathematics), World Scientific, 1996, pp. 135-150 | Zbl

[57] Ghys, Étienne Les systèmes dynamiques holomorphes, Dynamique et géométrie complexes (Panoramas et Synthèses), Volume 8, Société Mathématique de France, 1999, pp. 1-10 | MR

[58] Granier, Anne A Galois $D$-groupoid for $q$-difference equations, Ann. Inst. Fourier, Volume 61 (2011) no. 4, pp. 1493-1516 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[59] Hadamard, Jacques L’oeuvre scientifique de Paul Painlevé, Revue de Metaphys. et de Morale, Volume 41 (1934) no. 3, pp. 289-325 | Zbl

[60] Hardouin, Charlotte; Singer, Michael F. Differential Galois theory of linear difference equations, Math. Ann., Volume 342 (2008) no. 2, pp. 333-377 erratum in ibid. 350 (2011), no. 1, p. 243-244 | DOI | MR | Zbl

[61] Heiderich, Florian Galois theory of module fields, Ph. D. Thesis, Universitat de Barcelona, Departament d’Álgebra i Geometria (2010)

[62] Heiderich, Florian Introduction to the Galois theory of Artinian simple module algebras, Geometric and differential Galois theories (Séminaires et Congrès), Volume 27, Société Mathématique de France, 2013, pp. 69-92 | MR

[63] Iwasaki, Katsunori; Kimura, Hironobu; Shimomura, Shun; Yoshida, Masaaki From Gauss to Painlevé, A Modern Theory of Special Functions, Aspects of Mathematics, E16, Vieweg & Sohn, 1991 | Zbl

[64] Jimbo, Michio; Miwa, Tetsuji Deformation of Linear Ordinary Differential Equations. I, Proc. Japan Acad., Volume 56 (1980), pp. 143-148 | Zbl

[65] Jimbo, Michio; Miwa, Tetsuji; Ueno, Kimio Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients. I : General theory and $\tau$-function, Physica D, Volume 2 (1981) no. 2, pp. 306-352 | DOI | MR | Zbl

[66] Jouanolou, Jean-Pierre Équations de Pfaff algébriques, Lecture Notes in Mathematics, 708, Springer, 1979 | Zbl

[67] Kajiwara, Kenji; Noumi, Masatoshi; Yamada, Yasuhiko Geometric Aspects of Painlevé quations (2017) (https://arxiv.org/abs/1509.08186v8) | Zbl

[68] Katz, Nicholas M. A conjecture in the arithmetic theory of differential equations, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 110 (1982), pp. 203-239 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[69] Klimes, Martin The wild monodromy of the Painlevé V equation and its action on the wild character variety : an approach of confluence (2019) (https://arxiv.org/abs/1609.05185v3)

[70] Lie, Sophus Influence de Galois sur le développement des mathématiques, Le centenaire de l’École normale (1795-1895), Éditions Rue d’Ulm, 1895, pp. 481-489

[71] Liouville, Roger Sur les transcendantes uniformes, définies par des équations différentielles du second ordre, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 135 (1902), pp. 952-954 | Zbl

[72] Lisovyy, Oleg Équations de Painlevé et théorie des champs conformes, 2014 (Mémoire d’Habilitation, Physique mathématique, Université de Tours, https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-01426173)

[73] Loday-Richaud, Michèle Souvenirs strasbourgeois, Analyse complexe, systèmes dynamiques, sommabilité des séries divergentes et théories galoisiennes. I. Volume en l’honneur de Jean-Pierre Ramis (Astérisque), Volume 296, Société Mathématique de France, 2004, pp. 33-42 | Numdam | MR | Zbl

[74] Malgrange, Bernard Courriel à Casale, Guy du 4 septembre 2020

[75] Malgrange, Bernard Remarques sur les points singuliers des équations différentielles, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 273 (1970), pp. 1136-1137 | Zbl

[76] Malgrange, Bernard Le groupoïde de Galois d’un feuilletage, Essays on geometry and related topics (Monographies de l’Enseignement Mathématique), Volume 2, L’Enseignement Mathématique, 2001, pp. 465-501 | Zbl

[77] Malgrange, Bernard On nonlinear Galois differential theory, Chin. Ann. Math., Ser. B, Volume 23 (2002) no. 2, pp. 219-226 | DOI

[78] Malgrange, Bernard Déformations isomonodromiques, forme de Liouville, fonction $\tau$, Ann. Inst. Fourier, Volume 54 (2004) no. 5, pp. 1371-1392 | DOI | Zbl

[79] Malgrange, Bernard Pseudogroupes de Lie et théorie de Galois différentielle (2010) (IHES/M/10/11, https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00469778)

[80] Martinet, Jean; Ramis, Jean-Pierre Problèmes de modules pour des équations différentielles non linéaires du premier ordre, Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci., Volume 55 (1982), pp. 63-164 | DOI | Numdam | Zbl

[81] Martinet, Jean; Ramis, Jean-Pierre Classification analytique des équations différentielles non linéaires résonnantes du premier ordre, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 16 (1983), p. 571-62 | DOI | Numdam | Zbl

[82] Masuoka, Akira; Saito, Katsunori; Umemura, Hiroshi Toward quantization of Galois theory, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 29 (2020) no. 5, pp. 1319-1431

[83] McCoy, Barry M.; Tracy, Craig A.; Wu, Tai Tsun Painlevé Equations of the Third Kind, J. Math. Phys., Volume 18 (1977), pp. 1058-1092 | DOI | Zbl

[84] Morales-Ruiz, Juan J.; Ramis, Jean-Pierre; Simó, Carles Integrability of Hamiltonian systems and differential Galois groups of higher variational equations, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 40 (2007) no. 6, pp. 845-884 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[85] Morikawa, Shuji On a general difference Galois theory. I, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2709-2732 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[86] Morikawa, Shuji; Umemura, Hiroshi On a general difference Galois theory. II, Ann. Inst. Fourier, Volume 59 (2009) no. 7, pp. 2733-2771 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[87] Nishioka, Keiji A note on the transcendency of Painlevé’s first transcendent, Nagoya Math. J., Volume 109 (1988), pp. 63-67 | DOI | MR | Zbl

[88] Nishioka, Seiji Decomposable extensions of difference fields, Funkc. Ekvacioj, Volume 53 (2010) no. 3, pp. 489-501 | DOI | MR | Zbl

[89] Ohyama, Yousuke Soliton Theory and Mikio Sato, Sato’s collected works, Springer (to appear)

[90] Okamoto, Kazuo Sur les feuilletages associés aux équations du second ordre à points critiques fixes de P. Painlevé, Espaces des conditions initiales, Jpn. J. Math., Volume 5 (1979) no. 1, pp. 1-79 | DOI | Zbl

[91] Okamoto, Kazuo On the $\tau$-function of the Painlevé equations, Physica D, Volume 2 (1981) no. 3, pp. 525-535 | DOI | Zbl

[92] Okamoto, Kazuo Studies on the Painlevé Equations, I. Sixth Painlevé equation $P_{VI}$, Ann. Mat. Pura Appl., Volume 146 (1986), pp. 337-381 | DOI

[93] Okamoto, Kazuo The Hamiltonians associated to the Painlevé equations, The Painlevé property one century later (CRM Series in Mathematical Physics), Springer, 1999, pp. 735-787 | DOI | Zbl

[94] Okamoto, Kazuo; Ohyama, Yousuke Mathematical works of Hiroshi Umemura, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 29 (2020) no. 5, pp. 1053-1062

[95] Ore, Øystein Theory of Non-Commutative Polynomials, Ann. Math., Volume 34 (1933) no. 3, pp. 480-508 | MR | Zbl

[96] Painlevé, Paul Leçons sur la théorie analytique des équations différentielles, professées à Stockholm (1895), Hermann, 1897 (Oeuvres I, pp. 199–807) | Zbl

[97] Painlevé, Paul Analyse des Travaux Scientifiques Jusqu’en 1900, Blanchard, 1900 (Oeuvres I, p. 75–196) | Zbl

[98] Painlevé, Paul Mémoire sur les équations différentielles dont l’intégrale générale est uniforme, Bull. Soc. Math. Fr., Volume 28 (1900), pp. 201-261 | DOI | Zbl

[99] Painlevé, Paul Démonstration de l’irréductibilité absolue de l’équation $y_{x}x=6y^2+x$, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 135 (1902), pp. 641-647 | Zbl

[100] Paul, Emmanuel; Ramis, Jean-Pierre Dynamics on Wild Character Varieties, SIGMA, Symmetry Integrability Geom. Methods Appl., Volume 11 (2015), 068, 21 pages | MR | Zbl

[101] Picard, Émile Sur les équations différentielles et les groupes algébriques de transformations, Ann. Fac. Sci. Toulouse, Math., Volume 1 (1887), pp. 1-15 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[102] van der Put, Marius; Singer, Michael F. Galois Theory of Difference Equations, Lecture Notes in Mathematics, 1666, Springer, 1997 | MR | Zbl

[103] Ramani, Alfred; Grammaticos, Basil; Hietarinta, Jarmo Discrete versions of the Painlevé equations, Phys. Rev. Lett., Volume 67 (1991) no. 14, pp. 1829-1832 | DOI

[104] Ramis, Jean-Pierre Complete Integrability of Hamiltonian Systems and Differential Galois groups exposé (non rédigé) au Colloque Lie Groups, Geometric Structures and differential equations – One hundred years after Lie, Sophus –, organisé par Tohru Morimoto 1999 au RIMS Kyoto University et à la Nara Women’s University

[105] Ramis, Jean-Pierre Dévissage Gevrey, Journees singulieres de Dijon, 12-16 juin 1978 (Astérisque), Volume 59-60, Société Mathématique de France, 1978, pp. 173-204 | Numdam | Zbl

[106] Ramis, Jean-Pierre Filtration Gevrey sur le groupe de Picard-Vessiot d’une équation différentielle irrégulière, Singularités irrégulières, correspondance et documents (Documents Mathématiques), Volume 5, Société Mathématique de France, 2007, 068, pp. 129-153

[107] Ramis, Jean-Pierre Singularités irrégulières : des estimations Gevrey aux théories de Galois, un itinéraire naturel, Singularités irrégulières, correspondance et documents (Documents Mathématiques), Volume 5, Société Mathématique de France, 2007

[108] Ramis, Jean-Pierre Poincaré et les développements asymptotiques (Première partie), Gaz. Math., Soc. Math. Fr., Volume 133 (2012), pp. 33-72 | Zbl

[109] Saito, Katsunori; Umemura, Hiroshi Quantization of Galois theory. Examples and observations (2012) (https://arxiv.org/abs/1212.3392v1)

[110] Saito, Katsunori; Umemura, Hiroshi Can we quantize Galois theory ? (2013) (to appear in Proceedings of Various aspects of the Painlevé equations, https://arxiv.org/abs/1306.3660v1)

[111] Saito, Masa-Hiko; Takebe, Taro; Terajima, Hitomi Okamoto-Painlevé pairs and Painlevé equations (2000) (https://arxiv.org/abs/math/0006026) | Zbl

[112] Sakai, Hidetaka Rational surfaces associated with affine root systems and geometry of the Painlevé equations, Commun. Math. Phys., Volume 220 (2001) no. 1, pp. 165-229 | DOI | MR | Zbl

[113] Sato, Mikio Soliton equations as dynamical systems on infinite-dimensional Grassmann manifolds, RIMS Kokyuroku, Volume 439 (1981), pp. 30-46 | Zbl

[114] Sato, Mikio; Miwa, Tetsuji; Jimbo, Michio Holonomic Quantum Fields. I., Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 14 (1978), pp. 223-267 | DOI | MR | Zbl

[115] Sato, Mikio; Miwa, Tetsuji; Jimbo, Michio Holonomic Quantum Fields. II. The Riemann-Hilbert Problem, Publ. Res. Inst. Math. Sci., Volume 15 (1979), pp. 201-278 | DOI | MR | Zbl

[116] Sato, Mikio; Miwa, Tetsuji; Jimbo, Michio Aspects of holonomic quantum fields. Isomonodromic deformation and Ising model, Complex analysis, microlocal calculus and relativistic quantum theory (Lecture Notes in Physics), Volume 126, Springer, 1980, pp. 42-491 | MR | Zbl

[117] Sato, Mikio; Sato, Y. Soliton equations as dynamical systems on infinite-dimensional Grassmann manifolds, Nonlinear partial differential equations in applied science (Tokyo, 1982) (North-Holland Mathematics Studies), Volume 81, North-Holland, 1983, pp. 25-271 | MR | Zbl

[118] Sauloy, Jacques Systèmes aux $q$-différences singuliers réguliers : classification, matrice de connexion et monodromie, Ann. Inst. Fourier, Volume 50 (2000) no. 4, pp. 1021-1071 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[119] Singer, Michael F. Direct and Inverse Problems in Differential Galois Theory (Introduction to Selected works of Ellis Kolchin, American Mathematical Society, 1998)

[120] Singer, Michael F. Introduction to the Galois Theory of Linear Differential Equations, Algebraic theory of differential equations (London Mathematical Society Lecture Note Series), Volume 357, London Mathematical Society, 2009, pp. 1-82 | MR | Zbl

[121] Umemura, Hiroshi Foundation of general differential Galois theory (Marseille, November 27, 2006, lecture slides.)

[122] Umemura, Hiroshi Sato’s Soliton theory is abelian (Abstract of a lecture at the 4th Workshop on Hamiltonian Systems and Related Topics, Niigata University, October 14–15, 2010)

[123] Umemura, Hiroshi Soliton theory is abelian (Lecture at ACA 2011, The 17th International Conferences on Applications of Computer Algebra, Houston, June 28, 2011. http://divizio.perso.math.cnrs.fr/UMEMURA/Umemura_Soliton_theory_is_abelian_2011.pdf)

[124] Umemura, Hiroshi Birational automorphism groups and differential equations, Équations différentielles dans le champ complexe, Vol. II (Strasbourg, 1985) (Publ. Inst. Rech. Math. Av.), Volume 1985, Univ. Louis Pasteur, 1988, pp. 119-227 | Zbl

[125] Umemura, Hiroshi On the irreducibility of the first differential equation of Painlevé, Algebraic geometry and commutative algebra. In honor of Masayoshi Nagata. Volume II, Konokuniya Company Ltd., 1988, pp. 771-789 | DOI | Zbl

[126] Umemura, Hiroshi Second proof of the irreducibility of the first differential equation of Painlevé, Nagoya Math. J., Volume 117 (1990), pp. 125-171 | DOI | Zbl

[127] Umemura, Hiroshi The Painlevé equation and classical functions, Sugaku, Volume 57 (1995) no. 4, pp. 341-359 English translation in Sugaku Expo. 11 (1998), no. 1, p. 77-100 | Zbl

[128] Umemura, Hiroshi Differential Galois theory of infinite dimension, Nagoya Math. J., Volume 144 (1996), pp. 59-135 | DOI | MR | Zbl

[129] Umemura, Hiroshi Galois theory of algebraic and differential equations, Nagoya Math. J., Volume 144 (1996), pp. 1-58 | DOI | MR | Zbl

[130] Umemura, Hiroshi Lie-Drach-Vessiot theory, infinite-dimensional differential Galois theory, CR-geometry and overdetermined systems (Advanced Studies in Pure Mathematics), Volume 25, Kinokuniya Company, 1997, pp. 364-385 | DOI | MR | Zbl

[131] Umemura, Hiroshi Monodromy preserving deformation and differential Galois group. I, Analyse complexe, systèmes dynamiques, sommabilité des séries divergentes et théories galoisiennes. I. Volume en l’honneur de Jean-Pierre Ramis (Astérisque), Volume 296, Société Mathématique de France, 2004, pp. 253-269 | Numdam | Zbl

[132] Umemura, Hiroshi Galois theory and Painlevé equations, Asymptotic theories and Painlevé equations (Séminaires et Congrès), Volume 14, Société Mathématique de France, 2006, pp. 29-339 | MR | Zbl

[133] Umemura, Hiroshi Invitation to Galois theory, Differential equations and quantum groups (IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics), Volume 9, European Mathematical Society, 2007, pp. 269-289 | MR | Zbl

[134] Umemura, Hiroshi Sur l’équivalence des théories de Galois différentielles générales, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 346 (2008) no. 21-22, pp. 1155-1158 | DOI | MR | Zbl

[135] Umemura, Hiroshi On the definition of the Galois groupoid, Équations différentielles et singularités. En l’honneur de J. M. Aroca (Astérisque), Volume 323, Société Mathématique de France, 2009, pp. 441-452 | Numdam | MR | Zbl

[136] Vessiot, Ernest Sur la théorie de Galois et ses diverses généralisations, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 21 (1904), pp. 9-85 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[137] Vessiot, Ernest Sur la réductibilité des équations aux dérivées partielles non linéaires du premier ordre à une fonction inconnue, Ann. de l’Éc. Norm. (3), Volume 32 (1915), pp. 137-160 | Numdam | MR | Zbl

[138] Vessiot, Ernest Sur une théorie générale de la réductibilité des équations et systèmes d’équations finies ou différentielles, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér., Volume 63 (1946), pp. 1-22 | DOI | MR | Zbl

[139] Wasow, Wolfgang Asymptotic Expansions for Ordinary Differential equations, Dover Publications, 1965 | Zbl

[140] Weyl, Hermann Symmetry, Princeton University Press, 1952 | Zbl

[141] Weyl, Hermann Mind and nature, Selected Writings on Philosophy, Mathematics and Physics, Princeton University Press, 2009 | DOI | Zbl

[142] Wu, Tai Tsun; McCoy, Barry M.; Tracy, Craig A.; Barouch, Eytan Spin-spin correlation functions for the two-dimensional Ising model : Exact theory in the scaling region, Phys. Rev. B, Volume 13 (1976) no. 1, pp. 316-374 | DOI