Dans cet article de synthèse nous établissons des résultats complémentaires sur les chemins de Littelmann aléatoires et sur la transformée de Pitman généralisée. Nous décrivons les distributions de probabilité centrales sur les chemins de Littelmann. Ensuite nous donnons une loi des grands nombres et un théorème central limite pour la transformée de Pitman généralisée. Nous étudions alors les fonctions harmoniques sur les graphes multiplicatifs définis à partir des puissances tensorielles des représentations irréductibles des algèbres de Lie. Enfin, nous expliquons qu’il existe une transformée inverse de la transformée de Pitman généralisée définie presque sûrement sur les trajectoires infinies qui restent dans la chambre de Weyl et montrons comment elle peut être calculée.
This survey establishes some miscellaneous results on random Littelmann paths and generalized Pitman transform. We describe central probability distributions on Littelmann paths. Next we state a law of large numbers and a central limit theorem for the generalized Pitman transform. We then study harmonic functions on multiplicative graphs defined from the tensor powers of finite-dimensional Lie algebras representations. Finally, we explain there exists an inverse of the generalized Pitman transform defined almost surely on the set of infinite paths remaining in the Weyl chamber and how it can be computed.
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DOI : 10.5802/afst.1580
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Lecouvey, Cédric; Lesigne, Emmanuel; Peigné, Marc. Harmonic functions on multiplicative graphs and inverse Pitman transform on infinite random paths. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 27 (2018) no. 3, pp. 629-666. doi : 10.5802/afst.1580. http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1580/
[1] Littelmann paths and Brownian paths, Duke Math. J., Volume 130 (2005) no. 1, pp. 127-167 | DOI | MR | Zbl
[2] Groupes et algèbres de Lie, Chapitres 4,5 et 6, Actualités Scientifiques et Industrielles, 1337, Hermann & Cie, 1968, 288 pages
[3] Markov Processes. Vol. I and II, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 121/122, Springer, 1965, xii+365, viii+274 pages
[4] On crystal bases, Representations of groups. Canadian Mathematical Society annual seminar, June 15-24, 1994 (CMS Conf. Proc.), Volume 16, American Mathematical Society (1995), pp. 155-197 | MR | Zbl
[5] The boundary of Young lattice and random Young tableaux, Formal power series and algebraic combinatorics. Séries formelles et combinatoire algébrique 1994 (Series in Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science), Volume 24, American Mathematical Society, 1996, pp. 133-158 | DOI | MR | Zbl
[6] Asymptotic representation theory of the symmetric group and its applications in analysis, Translations of Mathematical Monographs, 219, American Mathematical Society, 2003, xv+201 pages | MR | Zbl
[7] Random walks in Weyl chambers and crystals, Proc. Lond. Math. Soc., Volume 104 (2012) no. 2, pp. 323-358 | DOI | MR | Zbl
[8] Conditioned one-way simple random walk and combinatorial representation theory, Sémin. Lothar. Comb., Volume 70 (2014) (B70b, 27 p.) | MR | Zbl
[9] Conditioned random walks from Kac-Moody root systems, Trans. Am. Math. Soc., Volume 368 (2016) no. 5, pp. 3177-3210 | DOI | MR | Zbl
[10] On the combinatorics of crystal graphs. I: Lusztig’s involution, Adv. Math., Volume 211 (2007) no. 1, pp. 204-243 | DOI | MR | Zbl
[11] A Littlewood–Richardson rule for symmetrizable Kac-Moody algebras, Invent. Math., Volume 116 (1994) no. 1-3, pp. 329-346 | DOI | MR | Zbl
[12] Paths and root operators in representation theory, Ann. Math., Volume 142 (1995) no. 3, pp. 499-525 | DOI | MR | Zbl
[13] The path model, the quantum Frobenius map and standard monomial theory, Algebraic groups and their representations (Mathematical and Physical Sciences), Volume 517, Kluwer Academic Publishers, 1998, pp. 175-212 | DOI | MR | Zbl
[14] A path-transformation for random walks and the Robinson-Schensted correspondence, Trans. Am. Math. Soc., Volume 355 (2003) no. 9, pp. 3669-3697 | DOI | MR | Zbl
[15] One-dimensional Brownian motion and the three-dimensional Bessel process, Adv. Appl. Probab., Volume 7 (1975), pp. 511-526 | DOI | MR | Zbl
[16] Robinson-Schensted-Knuth algorithm, jeu de taquin, and Kerov-Vershik measures on infinite tableaux, SIAM J. Discrete Math., Volume 28 (2014) no. 2, pp. 598-630 | DOI | MR | Zbl
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