A converse to the Andreotti-Grauert theorem

Demailly, Jean-Pierre

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 20 (2011) no. S2, pp. 123-135.

Le but de ce travail est de montrer qu’il y a des relations fortes entre certaines intégrales de Monge-Ampère apparaissant dans les inégalités de Morse holomorphes, et les estimations asymptotiques de cohomologie pour les fibrés holomorphes en droites. En particulier, nous montrons que ces relations sont satisfaites sans restriction pour toutes les surfaces projectives, et dans le cas particulier du volume, c’est-à-dire de la $0$-cohomologie asymptotique, pour toutes les variétés projectives. Ces résultats peuvent être vus comme une réciproque partielle au théorème d’annulation d’Andreotti-Grauert.

The goal of this paper is to show that there are strong relations between certain Monge-Ampère integrals appearing in holomorphic Morse inequalities, and asymptotic cohomology estimates for tensor powers of holomorphic line bundles. Especially, we prove that these relations hold without restriction for projective surfaces, and in the special case of the volume, i.e. of asymptotic $0$-cohomology, for all projective manifolds. These results can be seen as a partial converse to the Andreotti-Grauert vanishing theorem.

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