Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction q-dzeta
Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 17 (2008) no. 1, pp. 23-36.

Pour q, |q|<1, on définit la q-analogue de la fonction zeta de Riemann par les égalités ζq(k)=n1σk-1(n)qn=n1nk-1qn1-qn.

Dans [8], W. Zudilin énonce deux questions à propos de ces fonctions de q. La première concerne l’indépendance linéaire sur (q) des fonctions ζq(k), pour k1, et la seconde l’indépendance algébrique sur (q) des fonctions ζq(2),ζq(4),ζq(6), et des fonctions ζq(2k+1), k0. Dans [5], Y. Pupyrev répond positivement à la première question, et donne des résultats partiels pour la seconde.

Dans cet article, nous considérons la fonction L(x,y)=n1ynxn1-xn, et, avec τ=yddy, les fonctions τj(L)(x,y)=n1njynxn1-xn. Pour des valeurs ak,k=1,...,s, soumises à quelques conditions techniques, nous démontrons des résultats d’indépendance linéaire et algébrique pour les fonctions τj(L)(x,ak).

For q, |q|<1, one extends the Riemann Zeta function in the following way: ζq(k)=n1σk-1(n)qn=n1nk-1qn1-qn.

In the paper [8], W. Zudilin has formulated two questions about these functions. The first one is about the linear independence over (q) of the functions ζq(k), k1, and the second one about the algebraic independence over (q) of ζq(2),ζq(4),ζq(6), and ζq(2k+1), k0.

In the paper [5], Y. Pupyrev has positively answered the first question, and has given partial results for the second.

In this paper, we consider the function L(x,y)=n1ynxn1-xn, and, with τ=yddy, the functions τj(L)(x,y)=n1njynxn1-xn. For complex values ak,k=1,...,s, satisfying some technical conditions, we show linear and algebraic independence results for the functions τj(L)(x,ak).

DOI : 10.5802/afst.1173
Bézivin, Jean-Paul 1

1 Université de Caen, Département de Mathématiques et Mécanique, Laboratoire N.Oresme, Campus II, Boulevard du Maréchal Juin, BP 5186, 14032 Caen Cedex, France
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Bézivin, Jean-Paul. Indépendance linéaire et algébrique de fonctions liées à la fonction $q$-dzeta. Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 17 (2008) no. 1, pp. 23-36. doi : 10.5802/afst.1173. http://www.numdam.org/articles/10.5802/afst.1173/

[1] Bundschuh (P.) and Väänänen (K.).— Linear independence of q-analogues of certain classical constants, Results Math. 47, p. 33-44 (2005). | MR | Zbl

[2] Bundschuh (P.) and Zhou (P.).— Arithmetical results on certain multivariate power series. Bull London Math Soc, 38, n 2, p. 192-200 (2006). | MR | Zbl

[3] Hoang Ngo Minh, Petitot (M.).— Lyndon words, polylogarithm and Riemann’s zeta-function. Discrete Math, 217, no 1-3, p. 273-292 (2000). | Zbl

[4] Knopp (K.).— Uber Lambertsche Reihen. J. für die reine angewandte Math, 142, 4, p. 283-315 (1913).

[5] Pupyrev (Y.).— Linear and algebraic independence of q-zeta values. Mathematical notes, 78, no. 4, p. 563-568 (2005). | MR

[6] Shidlovskii (A.B.).— Transcendence and algebraic independence values of some E-functions. Moscow Univ Math Bull, 5, p. 44-59 (1961). | MR

[7] Ulanskii (E.A.).— Identities for generalized polylogarithm. Math Notes, 73, no 4, p. 571-581 (2003). | MR | Zbl

[8] Zudilin (W.).— Diophantine problems for q-values, Math. Notes 72, no. 5-6, p. 858-862 (2002). | MR | Zbl

Cité par Sources :