Trace et calcul résiduel : une nouvelle version du théorème d’Abel inverse, formes abéliennes

Weimann, Martin

Annales de la Faculté des sciences de Toulouse : Mathématiques, Série 6, Tome 16 (2007) no. 2, pp. 397-424.

On utilise le calcul résiduel pour un calcul effectif de la trace d’une forme méromorphe sur une hypersurface analytique permettant d’obtenir une caractérisation des formes traces. En conséquence, une version plus forte du théorème d’Abel-inverse global que celle donnée dans [16] est prouvée  : le courant $\left[V\right]\wedge \Phi$ est algébrique si et seulement si sa transformée d’Abel $𝒜\left(\right[V]\wedge \Phi )$ est rationnelle en les variables ne correspondant pas à la pente. La preuve s’appuie sur des mécanismes algébriques d’inversion et sur une équation différentielle de type « onde de choc » vérifiée par les coefficients de la trace. Le théorème de Wood [18] donne une condition nécessaire et suffisante pour qu’une collection de germes d’hypersurfaces soit incluse dans une hypersurface algébrique. On établit le lien logique de cet énoncé avec le théorème d’Abel-inverse. Enfin, on obtient une nouvelle méthode pour calculer la dimension de l’espace des $n$-formes abéliennes sur une hypersurface de ${\mathbb{P}}^{n+1}$ (voir [15]).

We use residue calculus for an effective computation of the trace of a meromorphic form $\Phi$ on an analytic hypersurface $V$ and we obtain an algebraic characterization of trace-forms. We prove by this way a stronger version of the global Abel-inverse theorem than in [16]  : the current $\left[V\right]\wedge \Phi$ is algebraic if and only if its Abel-transform $𝒜(\Phi \wedge [V\left]\right)$ is a rational form in variables not corresponding to the hillside. The proof uses an algebraic mechanism of inversion and a differential equation of a “shock wave” type satisfied by trace’s coefficients. We show the link of this theorem with Wood’s theorem [18], giving a simple criterion for a family of germs of analytic hypersurfaces to be interpolated by an algebraic hypersurface. Furthermore, we obtain a new method to calculate the dimension of the vector space of maximal abelian forms on an algebraic projective hypersurface [15].

[1] Abel (N.H.).— Mémoire sur une propriété générale d’une classe très étendue de fonctions trancendantes, note présentée à L’Académie des sciences à Paris le 30 Octobre 1826, Oeuvres complètes de Niels Henrik Abel, Christiania, vol 1, p. 145-211 (1881).

[2] Barlet (D.).— Le faisceau ${\omega }_X^{•}$ sur un espace analytique $X$ de dimension pure, Lecture Notes in Math. 670, Springer-Verlag, p. 187-204 (1978). | MR | Zbl

[3] Berenstein (C. A.) et Yger (A.).— Residue calculus and effective Nullstellensatz, in American Journal of Mathematics, Vol. 121, 4, p. 723-796 (1999). | MR | Zbl

[4] Björk (J.E.).— Residues and $𝒟$-modules, dans The Legacy of Niels Henrik Abel, The Abel Bicentennial, Oslo (2002) Laudal, Olav Arnfinn ; Piene, Ragni (Eds.), Springer-Verlag, p. 605-652 (2004). | MR | Zbl

[5] Collion (S.).— Transformation d’Abel et formes différentielles algébriques, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 323, no. 12, p. 1237-1242 (1996). | Zbl

[6] Cox (D.), Little (J.), O’Shea (D.).— Using algebraic geometry. Graduate Texts in Mathematics, 185. Springer-Verlag, New York (1998). | Zbl

[7] Cox (D.).— Toric residues, Ark Mat. 34, p. 73-96 (1996). | MR | Zbl

[8] Cox (D.).— What is a toric variety ? Topics in algebraic geometry and geometric modeling, 203–223, Contemp. Math., 334, Amer. Math. Soc., Providence, RI, (2003). (Reviewer : Nicolas Pouyanne) | MR | Zbl

[9] Fabre (B.).— Nouvelles variations sur les théorèmes d’Abel et Lie, Thèse soutenue le 04/12/2000, Institut de Mathématiques de Jussieu, Paris 6.

[10] Fabre (B.).— Sur la transformation d’Abel-Radon des courants localement résiduels, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa Cl. Sci. (5) Vol. IV, p. 27-57 (2005). | Numdam | Zbl

[11] Griffiths (P.A.).— Variations on a theorem of Abel, Inventiones math. 35, p. 321-390 (1976). | MR | Zbl

[12] Griffiths (P.A.), Harris (J.).— Principles of Algebraic Geometry, Pure and applied mathematics, Wiley-Intersciences, (1978). | MR | Zbl

[13] Henkin (G.), La transformation de Radon pour la cohomologie de Dolbeault et un théorème d’Abel-inverse, C. R. Acad. sci. Paris, t.315, série I, p. 973-978 (1992). | Zbl

[14] Henkin (G.).— Abel-Radon transform and applications, dans The Legacy of Niels Henrik Abel, The Abel Bicentennial, Oslo 2002 Laudal, Olav Arnfinn ; Piene, Ragni (Eds.), Springer-Verlag, p. 567-584 (2004). | MR | Zbl

[15] Hénaut (A.).— Formes différentielles abéliennes, bornes de Castelnuovo et géométrie des tissus, Comment. Math. Helv. 79, p. 25-57 (2004). | MR | Zbl

[16] Henkin (G.), Passare (M.).— Abelian differentials on singular varieties and variation on a theorem of Lie-Griffiths, Inventiones math. 135, p. 297-328 (1999). | MR | Zbl

[17] Passare (M.), Residues, currents, and their relation to ideals of meromorphic functions, Math. Scand. 62, p. 75-152 (1988). | MR | Zbl

[18] Wood (J.A.).— A simple criterion for an analytic hypersurface to be algebraic, Duke Mathematical Journal 51, 1, p. 235-237 (1984). | MR | Zbl

[19] Yger (A.).— La transformée de Radon sous ses différents aspects, Notes d’un cours de DEA, Bordeaux, notes manuscrites (2002).