Certain codes related to generalized paperfolding sequences

Kamiya, Yuichi; Murata, Leo

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 27 (2015) no. 1, pp. 149-169.

Soit RBC le code binaire réfléchi, qui est aussi connu sous le nom de code de Gray, soit $S_{\mathrm{RBC}}$ la somme des chiffres pour RBC, et soit ${\left\{P_{{\mathbf{b}}_0}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ la suite du pliage régulier de papier. Les auteurs ont montré que la différence première de la somme des chiffres pour RBC, ${\{S_{\mathrm{RBC}}\left(n\right)-S_{\mathrm{RBC}}(n-1)\}}_{n=1}^{\infty }$, coïncide avec ${\left\{P_{{\mathbf{b}}_0}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$. Pour toute suite infinie $\mathbf{b}={\left\{b_k\right\}}_{k=0}^{\infty }$, avec $b_k\in \{-1,1\}$, on peut construire une suite infinie ${\left\{P_{\mathbf{b}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$, appelée suite de pliage de papier généralisée associée à $\mathbf{b}$. Dans cet article, supposons que la suite $\mathbf{b}$ est periodique, nous proposons un nouveau code (de numération) ${𝒞}_{\mathbf{b}}$ défini par $\mathbf{b}$, et nous étudions les propriétés du code ${𝒞}_{\mathbf{b}}$ dans le Théorème 1.2. Nous montrons que la différence première de la somme des chiffres pour ${𝒞}_{\mathbf{b}}$, ${\{S_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}\left(n\right)-S_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}(n-1)\}}_{n=1}^{\infty }$, coïncide avec la suite de pliage de papier généralisée ${\left\{P_{\mathbf{b}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ (Théorème 1.1). Puis nous donnons une formule exacte pour la moyenne de la somme des chiffres pour ${𝒞}_{\mathbf{b}}$ dans le Théorème 1.3.

Let RBC be the reflected binary code, which is also called the Gray code, $S_{\mathrm{RBC}}$ be the sum of digits function for RBC, and ${\left\{P_{{\mathbf{b}}_0}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ be the regular paperfolding sequence. In their previous work the authors proved that the difference function of the sum of digits function for RBC, ${\{S_{\mathrm{RBC}}\left(n\right)-S_{\mathrm{RBC}}(n-1)\}}_{n=1}^{\infty }$, coincides with ${\left\{P_{{\mathbf{b}}_0}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$. From an infinite sequence $\mathbf{b}={\left\{b_k\right\}}_{k=0}^{\infty }$ with $b_k\in \{-1,1\}$, one can construct an infinite sequence ${\left\{P_{\mathbf{b}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ which is called the generalized paperfolding sequence with respect to $\mathbf{b}$. In this paper, when we assume $\mathbf{b}$ is periodic, we propose a new numeration code ${𝒞}_{\mathbf{b}}$, and study some properties of the code ${𝒞}_{\mathbf{b}}$ in Theorem 1.2. We can prove that the difference function of the sum of digits function $S_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}$ for ${𝒞}_{\mathbf{b}}$, ${\{S_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}\left(n\right)-S_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}(n-1)\}}_{n=1}^{\infty }$, coincides with the generalized paperfolding sequence ${\left\{P_{\mathbf{b}}\left(n\right)\right\}}_{n=1}^{\infty }$ (Theorem 1.1). We also give an exact formula for the average of $S_{{𝒞}_{\mathbf{b}}}$ in Theorem 1.3.

[1] J.-P. Allouche and J. Shallit, Automatic Sequences, Theory, Applications, Generalizations, Cambridge University Press, Cambridge, (2003). | MR | Zbl

[2] H. Delange, Sur la fonction sommatoire de la fonction “somme des chiffres", L’Enseignement Math., 21, (1975), 31–47. | MR | Zbl

[3] Y. Kamiya and L. Murata, Relations among arithmetical functions, automatic sequences, and sum of digits functions induced by certain Gray codes, J. Théor. Nombres Bordx., 24, 2 (2012), 307–337. | Numdam | MR | Zbl

[4] G. Tenenbaum, Sur la non-dérivabilité de fonctions périodiques associées à certaines formules sommatoires, in The Mathematics of Paul Erdős, R. L. Graham and J. Nešetřil eds., Springer Verlag, (1997), 117–128. | MR | Zbl