Algebraic independence over ${\mathbb{Q}}_p$

Bundschuh, Peter; Nishioka, Kumiko

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 16 (2004) no. 3, pp. 519-533.

Soit $f\left(x\right)$ une série entière ${\sum }_{n\ge 1}\zeta \left(n\right)x^{e\left(n\right)}$, où $\left(e\right(n\left)\right)$ est une suite récurrente linéaire d’entiers naturels, strictement croissante, et $\left(\zeta \right(n\left)\right)$ une suite de racines de l’unité dans ${\overline{\mathbb{Q}}}_p$, qui satisfait à une hypothèse technique convenable. Alors nous nous sommes particulièrement intéressés à caractériser l’indépendance algébrique sur ${\mathbb{Q}}_p$ des éléments $f\left({\alpha }_1\right),...,f\left({\alpha }_t\right)$ de ${ℂ}_p$ en fonction des ${\alpha }_1,...,{\alpha }_t\in {\mathbb{Q}}_p$, deux à deux distincts, avec $0<|{\alpha }_{\tau }{|}_p<1$ pour $\tau =1,...,t$. Une application remarquable de notre résultat principal dit que, dans le cas $e\left(n\right)=n$, l’ensemble $\left\{f\left(\alpha \right)\right|\alpha \in {\mathbb{Q}}_p,0<|\alpha {|}_p<1\}$ est algébriquement indépendant sur ${\mathbb{Q}}_p$, si $\left(\zeta \right(n\left)\right)$ satisfait à “l’hypothèse technique”. Nous terminerons par une conjecture portant sur des suites $\left(e\right(n\left)\right)$ plus générales.

Let $f\left(x\right)$ be a power series ${\sum }_{n\ge 1}\zeta \left(n\right)x^{e\left(n\right)}$, where $\left(e\right(n\left)\right)$ is a strictly increasing linear recurrence sequence of non-negative integers, and $\left(\zeta \right(n\left)\right)$ a sequence of roots of unity in ${\overline{\mathbb{Q}}}_p$ satisfying an appropriate technical condition. Then we are mainly interested in characterizing the algebraic independence over ${\mathbb{Q}}_p$ of the elements $f\left({\alpha }_1\right),...,$ $f\left({\alpha }_t\right)$ from ${ℂ}_p$ in terms of the distinct ${\alpha }_1,...,{\alpha }_t\in {\mathbb{Q}}_p$ satisfying $0<|{\alpha }_{\tau }{|}_p<1$ for $\tau =1,...,t$. A striking application of our basic result says that, in the case $e\left(n\right)=n$, the set $\left\{f\left(\alpha \right)\right|\alpha \in {\mathbb{Q}}_p,0<|\alpha {|}_p<1\}$ is algebraically independent over ${\mathbb{Q}}_p$ if $\left(\zeta \right(n\left)\right)$ satisfies the “technical condition”. We close with a conjecture concerning more general sequences $\left(e\right(n\left)\right)$.

[1] Y. Amice, Les nombres $p$-adiques. Presses Universitaires de France, Paris, 1975. | MR | Zbl

[2] P. Bundschuh, V.G. Chirskii, Algebraic independence of elements from ${ℂ}_p$ over ${\mathbb{Q}}_p$, I. Arch. Math. 79 (2002), 345–352. | MR | Zbl

[3] P. Bundschuh, V.G. Chirskii, Algebraic independence of elements from ${ℂ}_p$ over ${\mathbb{Q}}_p$, II Acta Arith. 113 (2004), 309–326. | MR | Zbl

[4] F.Q. Gouvêa, $p$-adic Numbers. Springer-Verlag, Berlin et al., 1993. | MR | Zbl

[5] G. Hansel, Une démonstration simple du théorème de Skolem-Mahler-Lech. Theoret. Comput. Sci. 43 (1986), 91–98. | MR | Zbl

[6] N. Koblitz, $p$-adic Numbers, $p$-adic Analysis, and Zeta-Functions, 2nd ed. Springer-Verlag, New York, 1984. | MR | Zbl

[7] K.K. Kubota, On the algebraic independence of holomorphic solutions of certain functional equations and their values. Math. Ann. 227 (1977), 9–50. | MR | Zbl

[8] D. Lampert, Algebraic $p$-adic Expansions. J. Number Theory 23 (1986), 279–284. | MR | Zbl

[9] K. Nishioka, $p$-adic transcendental numbers. Proc. Amer. Math. Soc. 108 (1990), 39–41. | MR | Zbl

[10] K. Nishioka, Mahler Functions and Transcendence. LNM 1631, Springer-Verlag, Berlin et al., 1996. | MR | Zbl

[11] A.B. Shidlovskii, Transcendental Numbers. De Gruyter, Berlin et al., 1989. | MR | Zbl

[12] T.N. Shorey, R. Tijdeman, Exponential Diophantine Equations. Cambridge Univ. Press, 1986. | MR | Zbl