Étude des projections de norme 1 de $E^{\text{'}\text{'}}$ sur $E$. Unicité de certains préduaux. Applications

Godefroy, Gilles

Annales de l'Institut Fourier, Tome 29 (1979) no. 4, pp. 53-70.

On étudie dans ce travail les projections de norme 1 du bidual $E^{\prime \prime }$ d’un espace de Banach $E$ sur l’image canonique $i_E\left(E\right)$ de $E$ dans $E^{\prime \prime }$. On montre que dans un certain nombre de cas, il y a unicité de la projection de norme 1. On en déduit des théorèmes d’existence et d’unicité du prédual de $E$. On donne ensuite diverses applications, en particulier aux espaces dont la norme est différentiable sur un ensemble dense et aux espaces ne contenant pas ${\ell }^1\left(N\right)$.

Let $E$ be a Banach space such that there exists a norm on projection of $E^{\prime \prime }$ on the canonical image of $E$ in $E^{\prime \prime }$. Conditions are given which ensure that $E$ is already a dual space, and that this projection is unique. This is the case for example, if the norm of $E$ is Fréchet-differentiable on a dense set, or if $E$ is separable and does not contain ${\ell }^1$. If $E$ is the dual of $F$, it is shown that $F$ is unique normic predual of $E$ if $F$ has the Radon-Nikodym property, or if $E$ does not contain ${\ell }^1$.

[1] J. Bourgain, D. M. Fremlin, M. Talagrand, Pointwise compact sets of Baire mesurable functions, Am. J. of Math., 100 (1978), 845-886. | MR | Zbl

[2] J. Diestel, Geometry of Banach Spaces, selected topics, Lectures notes n° 485, Springer-Verlag. | MR | Zbl

[3] G. Godefroy, Espaces de Banach. Existence et Unicité de certains préduaux, Annales de l'Institut Fourier, 28,3 (1978), 87-105. | Numdam | Zbl

[4] H. P. Rosenthal, A double dual characterization of Banach spaces containing l1, Israel J. of Math., 20 (1975), 375-384. | MR | Zbl