Autour du problème de Kakeya

Pajot, Hervé

Journées mathématiques X-UPS, Une invitation à la théorie géométrique de la mesure (2017), pp. 71-116.

En 1917, Kakeya posait le problème suivant : Quelle est l’aire minimale nécessaire pour retourner de 180 degrés une aiguille de longueur 1 ? La réponse donnée par Besicovitch est qu’on peut retourner l’aiguille avec une aire aussi petite que l’on veut ! Ceci est dû au fait qu’il existe des ensembles du plan, appelés ensembles de Besicovitch, qui contiennent une droite dans chaque direction mais qui sont de mesure de Lebesgue nulle. Le but de ce texte est, d’une part, de présenter une construction d’un ensemble de Besicovitch à partir de l’ensemble de Cantor 4-coins qui est l’exemple type d’ensemble purement non rectifiable au sens de la théorie géométrique de la mesure et, d’autre part, de démontrer qu’un ensemble de Besicovitch est de dimension de Hausdorff $2$. Nous expliquerons enfin ce qui se passe en dimensions supérieures (travaux de Bourgain, Tao,...) ainsi que le lien entre le problème de Kakeya et les équations aux dérivées partielles (inégalités de Strichartz pour l’équation des ondes) d’une part et l’analyse harmonique (le problème de restriction pour la transformée de Fourier) d’autre part. Le cas du problème de Kakeya dans les corps finis (plus simple à énoncer) sera aussi discuté en détails. En particulier, on en donnera une solution assez élémentaire due à Dvir.

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