Lattices in potentially semi-stable representations and weak $(\varphi ,\widehat{G})$-modules

Ozeki, Yoshiyasu

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 29 (2017) no. 1, pp. 217-241.

Soient $p$ un nombre premier et $r\ge 0$ un entier. Dans cet article nous montrons une anti-équivalence de catégories entre la catégorie des $(\varphi ,\widehat{G})$-modules faibles et une certaine sous-catégorie des la catégorie des réseaux dans les ${\mathbb{Q}}_p$-représentations semi-stables à poids de Hodge–Tate compris entre $0$ et $r$. Cela répond à une question de Tong Liu sur l’image essentielle du foncteur sur les $(\varphi ,\widehat{G})$-modules faibles. Nous construisons au cours de la démonstration, suivant la méthode de Liu, des données algébriques linéaires qui classifient des réseaux dans les représentations semi-stables.

Let $p$ be a prime number and $r\ge 0$ an integer. In this paper, we prove that there exists an anti-equivalence between the category of weak $(\varphi ,\widehat{G})$-modules of height $\le r$ and a certain subcategory of the category of Galois stable ${\mathbb{Z}}_p$-lattices in potentially semi-stable representations with Hodge–Tate weights in $[0,r]$. This gives an answer to a question by Tong Liu about the essential image of a functor on weak $(\varphi ,\widehat{G})$-modules. During the proof, following Liu’s methods, we construct linear algebraic data which classifies lattices in potentially semi-stable representations.

Classification : 11F85, 11S20
Mots-clés : weak $(\phi ,\hat{G})$-modules, potentially semi-stable representations.

[1] Breuil, Christophe Représentations $p$-adiques semi-stables et transversalité de Griffiths, Math. Ann., Volume 307 (1997) no. 2, pp. 191-224 | DOI

[2] Caruso, Xavier Représentations galoisiennes $p$-adiques et $(\varphi ,\tau )$-modules, Duke Math. J., Volume 162 (2013) no. 13, pp. 2525-2607 | DOI

[3] Colmez, Pierre; Fontaine, Jean-Marc Construction des représentations $p$-adiques semi-stables, Invent. Math., Volume 140 (2000) no. 1, pp. 1-43 | DOI

[4] Kisin, Mark Crystalline representations and $F$-crystals., Algebraic geometry and number theory. In Honor of Vladimir Drinfeld’s 50th birthday, Basel: Birkhäuser, 2006, pp. 457-496 | DOI

[5] Liu, Tong Compatibility of Kisin modules for different uniformizers (http://arxiv.org/abs/1302.1888, to appear in Journal für die reine und angewandte Mathematik)

[6] Liu, Tong Torsion $p$-adic Galois representations and a conjecture of Fontaine, Ann. Sci. École Norm. Sup., Volume 40 (2007) no. 4, pp. 633-674

[7] Liu, Tong On lattices in semi-stable representations: A proof of a conjecture of Breuil, Compos. Math., Volume 144 (2008) no. 1, pp. 61-88 | DOI

[8] Liu, Tong A note on lattices in semi-stable representations, Math. Ann., Volume 346 (2010) no. 1, pp. 117-138 | DOI

[9] Liu, Tong Lattices in filtered $(\varphi ,N)$-modules, J. Inst. Math. Jussieu, Volume 11 (2012) no. 03, pp. 659-693 | DOI

[10] Ozeki, Yoshiyasu On Galois equivariance of homomorphisms between torsion potentially crystalline representations (http://arxiv.org/abs/1304.2095v3)