Unobstructed Hilbert modular deformation problems

Gamzon, Adam

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 221-236.

Soit ${\rho }_{f,\lambda }$ une représentation galoisienne $\ell$-adique associée à une forme de Hilbert nouvelle $f$, et soit ${\overline{\rho }}_{f,\lambda }$ sa réduction semi-simple modulo $\ell$. En généralisant l’approche de Weston, nous démontrons que l’anneau de déformations universel de ${\overline{\rho }}_{f,\lambda }$ de déterminant donné est non obstrué pour presque tout $\ell$. Nous donnons également un exemple explicite pour illustrer comment obtenir une borne inférieure sur les $\ell$ tels que l’anneau de déformations universel de ${\overline{\rho }}_{f,\lambda }$ de déterminant donné soit non obstrué pour tout $\lambda$ divisant $\ell$.

Let ${\rho }_{f,\lambda }$ be an $\ell$-adic Galois representation associated to a Hilbert newform $f$. Consider its semisimple mod $\ell$ reduction ${\overline{\rho }}_{f,\lambda }$. This paper discusses how, under certain conditions on $f$, the universal ring for deformations of ${\overline{\rho }}_{f,\lambda }$ with fixed determinant is unobstructed for almost all primes. We follow the approach of Weston, who carried out a similar program for classical modular forms in 2004. As such, the problem essentially comes down to verifying that various local invariants vanish at all places dividing $\ell$ or the level of the newform. We conclude with an explicit example illustrating how one can in principle find a lower bound on $\ell$ such that the universal ring for deformations of ${\overline{\rho }}_{f,\lambda }$ with fixed determinant is unobstructed for all $\lambda$ over $\ell$.

Classification : 11F80, 11F70, 11S25, 11R34
Mots clés : Galois representations, Hilbert modular forms, deformation problems.

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