Fields on the Bottom

Jarden, Moshe; Videla, Carlos

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 213-219.

Nous notons ${\mathbb{Q}}_{\mathrm{tr}}$ le corps des nombres totalement réels. Etant donné un ensemble $S$ de nombres premiers, nous notons ${\mathbb{Q}}^{\left(S\right)}$ l’extension galoisienne maximale de $\mathbb{Q}$ de degré seulement divisible par des nombres premiers dans $S$. Nous démontrons que le corps ${\mathbb{Q}}_{\mathrm{tr},S}={\mathbb{Q}}_{\mathrm{tr}}\cap {\mathbb{Q}}^{\left(S\right)}$ n’a pas de sous corps propre $M$ avec $[{\mathbb{Q}}_{\mathrm{tr},X}:M]<\infty$.

We denote the field of totally real numbers by ${\mathbb{Q}}_{\mathrm{tr}}$. For a set $S$ of prime numbers we let ${\mathbb{Q}}^{\left(S\right)}$ be the maximal Galois extension of $\mathbb{Q}$ whose degree is divisible only by prime numbers in $S$. We prove that the field ${\mathbb{Q}}_{\mathrm{tr},S}={\mathbb{Q}}_{\mathrm{tr}}\cap {\mathbb{Q}}^{\left(S\right)}$ has no proper subfield $M$ with $[{\mathbb{Q}}_{\mathrm{tr},S}:M]<\infty$.

Classification : 12E30
Mots clés : Bottom theorem, Pythagorean field, totally real number

[1] L. Bary-Soroker, « Pseudo Algebraically Closed Extensions », PhD Thesis, Tel Aviv University, 2008.

[2] M. D. Fried, D. Haran & H. Völklein, « Absolute Galois group of the totally real numbers », C. R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math. 317 (1993), no. 11, p. 995-999. | Zbl

[3] —, « Real Hilbertianity and the field of totally real numbers », in Arithmetic geometry (Tempe, AZ, 1993), Contemp. Math., vol. 174, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1994, p. 1-34. | DOI | Zbl

[4] M. D. Fried & M. Jarden, Field arithmetic, third ed., Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], vol. 11, Springer-Verlag, Berlin, 2008, Revised by Jarden, xxiv+792 pages. | DOI

[5] M. Jarden, « Intersections of local algebraic extensions of a Hilbertian field », in Generators and relations in groups and geometries (Lucca, 1990), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., vol. 333, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1991, p. 343-405. | DOI | Zbl

[6] E. Landau, « Über die Zerlegung total positiver Zahlen in Quadrate », Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1919 (1919), p. 392-396 (ger). | Zbl

[7] S. Lang, Algebra, third ed., Graduate Texts in Mathematics, vol. 211, Springer-Verlag, New York, 2002, xvi+914 pages.

[8] O. V. Melʼnikov, « Subgroups and the homology of free products of profinite groups », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 53 (1989), no. 1, p. 97-120. | DOI | MR

[9] L. Moret-Bailly, « Groupes de Picard et problèmes de Skolem. II », Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 22 (1989), no. 2, p. 181-194. | DOI | Zbl

[10] F. Pop, « Fields of totally $\Sigma$-adic numbers », manuscript, Heidelberg, 1992.

[11] —, « Embedding problems over large fields », Ann. of Math. (2) 144 (1996), no. 1, p. 1-34. | DOI | MR | Zbl

[12] P. Ribenboim, L’arithmétique des corps, Hermann, Paris, 1972, 245 pages. | Zbl

[13] C. Siegel, « Darstellung total positiver Zahlen durch Quadrate », Math. Z. 11 (1921), no. 3-4, p. 246-275. | DOI | MR