Edwards Curves and Gaussian Hypergeometric Series

Sadek, Mohammad; El-Sissi, Nermine

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 115-124.

Soit $E$ une courbe elliptique décrite par un modèle d’Edwards ou un modèle d’Edwards tordu sur ${𝔽}_p$, à savoir, $E$ est définie par une des équations suivantes $x^2+y^2=a^2(1+x^2{y}^2),a^5-a\not\equiv 0$ mod $p$, ou, $a{x}^2+y^2=1+d{x}^2{y}^2,ad(a-d)\not\equiv 0$ mod $p$, respectivement. Nous représentons le nombre de points rationnels de $E$ sur ${𝔽}_p$ en utilisant la série hypergéométrique de Gauss ${\displaystyle {}_2{F}_1\left(\begin{array}{cc}\phi & \phi \\ & ϵ\end{array}|x\right)}$ où $ϵ$ et $\phi$ sont les caractères trivial et quadratique sur ${𝔽}_p$, respectivement. Cette représentation nous permet d’évaluer $\left|E\right({𝔽}_p\left)\right|$ pour certaines courbes elliptiques $E$, et de démontrer l’existence d’isogénies entre $E$ et des courbes elliptiques de Legendre sur ${𝔽}_p$.

Let $E$ be an elliptic curve described by either an Edwards model or a twisted Edwards model over ${𝔽}_p$, namely, $E$ is defined by one of the following equations $x^2+y^2=a^2(1+x^2{y}^2),a^5-a\not\equiv 0$ mod $p$, or, $a{x}^2+y^2=1+d{x}^2{y}^2,ad(a-d)\not\equiv 0$ mod $p$, respectively. We express the number of rational points of $E$ over ${𝔽}_p$ using the Gaussian hypergeometric series ${\displaystyle {}_2{F}_1\left(\begin{array}{cc}\phi & \phi \\ & ϵ\end{array}|x\right)}$ where $ϵ$ and $\phi$ are the trivial and quadratic characters over ${𝔽}_p$ respectively. This enables us to evaluate $\left|E\right({𝔽}_p\left)\right|$ for some elliptic curves $E$, and prove the existence of isogenies between $E$ and Legendre elliptic curves over ${𝔽}_p$.

Classification : 11T24, 14H52
Mots clés : Edwards Curves, Gaussian Hypergeometric Series, Finite Fields

[1] R. Barman & G. Kalita, « Hypergeometric functions and a family of algebraic curves », Ramanujan J. 28 (2012), no. 2, p. 175-185. | DOI | MR | Zbl

[2] D. J. Bernstein, P. Birkner, M. Joye, T. Lange & C. Peters, « Twisted Edwards curves », in Progress in cryptology—AFRICACRYPT 2008, Lecture Notes in Comput. Sci., vol. 5023, Springer, Berlin, 2008, p. 389-405. | DOI

[3] H. M. Edwards, « A normal form for elliptic curves », Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 44 (2007), no. 3, p. 393-422 (electronic). | DOI | MR | Zbl

[4] J. Greene, « Hypergeometric functions over finite fields », Trans. Amer. Math. Soc. 301 (1987), no. 1, p. 77-101. | DOI | MR | Zbl

[5] K. Ono, « Values of Gaussian hypergeometric series », Trans. Amer. Math. Soc. 350 (1998), no. 3, p. 1205-1223. | DOI | Zbl

[6] R. Osburn & C. Schneider, « Gaussian hypergeometric series and supercongruences », Math. Comp. 78 (2009), no. 265, p. 275-292. | DOI | MR | Zbl