Unit $L$-Functions for étale sheaves of modules over noncommutative rings

Witte, Malte

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 89-113.

Soit $s:X\to Spec𝔽$ un schéma séparé de type fini sur un corps fini $𝔽$ de caractéristique $p$, soit $\Lambda$ une ${\mathbb{Z}}_p$-algèbre avec un nombre fini d’éléments, non nécessairement commutative, et soit ${ℱ}^{•}$ un complexe parfait de $\Lambda$-faisceaux sur le site étale de $X$. Nous prouvons que le quotient $L({ℱ}^{•},T)/L(R{s}_{!}{ℱ}^{•},T)$, qui est a priori un élément de $K_1\left(\Lambda \left[\left[T\right]\right]\right)$, a un antécédent canonique dans $K_1\left(\Lambda \left[T\right]\right)$. Nous utilisons cela pour prouver une version de la conjecture principale d’Iwasawa non-commutative pour des revêtements de Lie $p$-adiques de $X$.

Let $s:X\to Spec𝔽$ be a separated scheme of finite type over a finite field $𝔽$ of characteristic $p$, let $\Lambda$ be a ${\mathbb{Z}}_p$-algebra with finitely many elements, not necessarily commutative, and let ${ℱ}^{•}$ be a perfect complex of $\Lambda$-sheaves on the étale site of $X$. We show that the ratio $L({ℱ}^{•},T)/L(R{s}_{!}{ℱ}^{•},T)$, which is a priori an element of $K_1\left(\Lambda \left[\left[T\right]\right]\right)$, has a canonical preimage in $K_1\left(\Lambda \left[T\right]\right)$. We use this to prove a version of the noncommmutative Iwasawa main conjecture for $p$-adic Lie coverings of $X$.

Classification : 14G10, 11G25, 14G15, 11R23
Mots clés : Unit $L$-Functions, Grothendieck trace formula, Iwasawa main conjecture, varieties over finite fields

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