The Jacobi form $D_L,$ theta functions, and Eisenstein series

Bayad, Abdelmejid; Robert, Gilles

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 28 (2016) no. 1, pp. 75-88.

Dans ce travail, consacré à la forme modulaire de Jacobi $D_L$, nous clarifions sa relation à la fonction thêta de genre un, son écriture possible comme une série de Kronecker, et leur lien avec les séries d’Eisenstein. Nous calculons la dérivée logarithmique de $x\to D_L(x,z)$, et déduisons de ce calcul une représentation intégrale de $D_L$ valable pour $x$ dans le disque épointé, de rayon la distance de $z$ à $L$. Concernant les coefficients du développement en série de Laurent de $D_L$, nous établissons une relation de récurrence liant ceux-ci aux valeurs des séries d’Eisenstein $E_k^{*}(z;L)-e_k^{*}\left(L\right)$, pour $k\ge 1$. Ces coefficients sont les analogues des fonctions de Bernoulli périodiques. Plusieurs identités intéressantes peuvent être décrites par notre étude. Certaines de ces relations ont déjà été étudiées dans le livre de A. Weil [10]. Des identités nouvelles sont obtenues ici.

In this paper we study the Jacobi modular form $D_L$, we clarify its relation to theta function of genus one and its link with Eisenstein series, and also its relationship with Kronecker’s series. We compute the logarithmic derivative of $x\to D_L(x,z)$, and derive from it an integral representative of $D_L$ valid for $x$ in the punctured disk of radius the distance of $z$ to $L$. We consider the Laurent series coefficients of $D_L$ and establish a recurrence formula for them. Those coefficients are elliptic analogue to periodized Bernoulli functions. Several interesting identities can be obtained from our study. These interrelations were already the object of the Weil’s book [10]. New relations are here obtained.

Classification : 11F50, 11M56, 33E05
Mots clés : Eisenstein series, Kronecker series, Jacobi modular form, theta function of genus one, elliptic Bernoulli numbers

[1] A. Bayad, « Jacobi forms in two variables: Analytic theory and elliptic Dedekind sums », 2011.

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[9] A. Weil, Introduction à l’étude des variétés kählériennes, Publications de l’Institut de Mathématique de l’Université de Nancago, VI. Actualités Sci. Ind. no. 1267, Hermann, Paris, 1958, 175 pages. | DOI | Zbl

[10] —, Elliptic functions according to Eisenstein and Kronecker, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 88, ii+93 pages. | Zbl