Beyond two criteria for supersingularity: coefficients of division polynomials

Debry, Christophe

Journal de théorie des nombres de Bordeaux, Tome 26 (2014) no. 3, pp. 595-605.

Soit $f\left(x\right)$ un polynôme cubique, unitaire et séparable avec coefficients dans un corps de caractéristique $p\ge 3$, et soit $E$ la courbe elliptique donnée par l’équation $y^2=f\left(x\right)$. Dans cet article on démontre que le coefficient du monôme $x^{\frac{1}{2}p(p-1)}$ dans le $p$–ième polynôme de division de $E$ est égal au coefficient du monôme $x^{p-1}$ dans $f{\left(x\right)}^{\frac{1}{2}(p-1)}$. Lorsque le corps de base est fini, le premier coefficient est nul si et seulement si $E$ est supersingulière, ce qui, par un critère classique de Deuring (1941), est équivalent à la nullité du deuxième coefficient. Donc les zéros des coefficients sont les mêmes. L’égalité des coefficients qu’on démontre dans cet article entraîne clairement cette égalité de zéros.

Let $f\left(x\right)$ be a cubic, monic and separable polynomial over a field of characteristic $p\ge 3$ and let $E$ be the elliptic curve given by $y^2=f\left(x\right)$. In this paper we prove that the coefficient at $x^{\frac{1}{2}p(p-1)}$ in the $p$–th division polynomial of $E$ equals the coefficient at $x^{p-1}$ in $f{\left(x\right)}^{\frac{1}{2}(p-1)}$. For elliptic curves over a finite field of characteristic $p$, the first coefficient is zero if and only if $E$ is supersingular, which by a classical criterion of Deuring (1941) is also equivalent to the vanishing of the second coefficient. So the zero loci of the coefficients are equal; the main result in this paper is clearly stronger than this last statement.

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